Processing math: 100%

Метка: бесконечно малая функция в сравнении с другой

Символ Ландау

Символами Ландау являются «О» большое и «о» малое (O и o).

Определение:

Пусть f(x) и g(x) — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки x0, причем в этой окрестности g не обращается в ноль. Говорят, что:

  • f является «О» большим от g при x→x0 и пишут f=O(g)x→x0, если существует такая константа C>0, что для всех x из некоторой окрестности точки x0 имеет место неравенство |f(x)|≤C|g(x)|;
  • f является «о» маленьким от g при x→x0 и пишут f=o(g)x→x0, если для любого ε>0 найдется такая проколотая окрестность U′x0 точки x0, что для всех x∈U′x0 имеет место неравенство |f(x)|<ε|g(x)|.

Иначе говоря, в первом случае отношение |f|/|g| в окрестности точки x0 ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при x→x0, то есть функция f является бесконечно малой в сравнении с g.

Примеры:

x2=o(x)x→0, т.к. limx→0x2x=limx→0x=0;
sin2x=O(x)x→x0,x0ϵR, т.к. limx→∞1xx=limx→∞1x2=0;
−x3=O(x), т.к. limx→0−x3x=limx→0−x2; а функция −x2 ограничена сверху в окрестности точки 0.
sin2x=O(x),x0ϵR, т.к. limx→x0sin2xx=limx→x0sinx; а функция sinx всегда ограничена сверху единицей.

Свойства «О» большого и «о» маленького

Для функций f=f(x),g=g(x) и xϵR справедливы равенства:

  1. o(f)+o(f)=o(f);
  2. o(f) тем более есть O(f);
  3. o(f)+O(f)=O(f);
  4. O(f)+O(f)=O(f);
  5. o(f(x))g(x)=o(f(x)g(x)) и O(f(x))g(x)=O(f(x)g(x)), если g≠0; 
  6. o(o(f))=o(f);
  7. o(Cf)=o(f);
  8. C⋅o(f)=o(f);
  9. o(f+o(f))=o(f);
  10. o(f)±o(f)=o(f);
  11. o(fn)⋅o(fm)=o(fn+m),n,mϵN;
  12. (o(f))n=o(fn),nϵN .

Примеры:

o(x2)+o(x2)x→0=o(x2)x→0
o(2x5)x→0=o(x5)x→0
o(x2)⋅o(x3)x→0=o(x5)x→0.

Символ Ландау

Тест по теме «Символ Ландау»

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
  2. Википедия, статья «О большое и о малое»
  3. Кытманов А.А., Математический анализ, параграф 1.15.

Рекомендуемая к прочтению литература: