Задача из журнала «Квант» (1995 №2)

Условие

В треугольнике [latex]ABC[/latex] проведена биссектриса [latex]AK[/latex], [latex]D[/latex] — точка пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине [latex]B[/latex] с описанной окружностью. Докажите, что если [latex]\angle A> \angle C[/latex], то

[latex]\sin A / \sin C- \sin \angle CDK/ \sin \angle BDK=1.[/latex]

Доказательство

Пусть углы [latex]A, B, C[/latex] треугольника равны [latex]2\alpha, 2\beta, 2\gamma[/latex] соответственно. Биссектриса внутреннего угла [latex]B[/latex] пересекает дугу [latex]AC[/latex] описанной окружности в точке [latex]L[/latex], диаметрально противоположной [latex]D[/latex](рис. 1).

Рис. 1

Положим [latex]\angle CBD=\delta, \angle BCD=\varepsilon[/latex]. Используя теорему синусов(для [latex]\vartriangle DBK[/latex] и [latex]\vartriangle CDK[/latex]), теорему о биссектрисе треугольника ([latex]BK/KC = AB/AC = \sin 2\gamma / \sin 2\beta[/latex]) и формулу

[latex]2 \sin \varphi \cos\psi = \sin(\varphi + \psi) — \sin(\psi — \varphi)[/latex],

получаем

[latex]\frac{\sin \angle CDK}{\sin \angle BDK} = [/latex] [latex]\frac{KC \sin \varepsilon}{KB \sin \delta} = [/latex] [latex]\frac{ \sin 2\beta \cdot \sin \frac{\pi — 4\gamma — 2\beta}{2}}{\sin 2\gamma \cdot \sin \frac{\pi — 2\beta}{2}} = [/latex]

[latex]\frac{2 \sin \beta \cos \beta \cos(2\gamma + \beta)}{\sin2\gamma \cos \beta} = [/latex] [latex]\frac{\sin(2\beta + 2\gamma)}{\sin2\gamma} — 1 = [/latex] [latex]\frac{\sin2\alpha}{\sin2\gamma} — 1[/latex]

что и требовалось доказать.

Замечание

Если [latex]\angle A< \angle C[/latex] (как на рисунке 2), то меняется лишь знак в формуле

[latex]\sin \varepsilon = \sin(2\gamma + \beta — \pi /2)= — \cos (2\gamma + \beta)[/latex]

а [latex]\sin \delta[/latex] по-прежнемe равен [latex]\sin( \beta + \pi /2) = \cos \beta[/latex], так что равенство в условии принимает вид

[latex]\frac{\sin A}{\sin C} + \frac{\sin \angle CDK}{\sin \angle BDK} = 1[/latex]

Рис. 2

Задача из журнал «Квант» (1997)

Условие

В треугольнике отношение синуса одного угла к косинусу другого равно тангенсу третьего. Докажите, что высота, проведенная из вершины первого угла, медиана, проведенная из вершины второго, и биссектриса третьего угла пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть [latex] \alpha , \beta , \gamma [/latex] — углы треугольника ABC, в котором AH — высота, BK — медиана, CL — биссектриса. Из  условия

следует, что углы ABC и ACB острые, поскольку  [latex] \sin\alpha [/latex] >0 и в треугольнике не может быть двух тупых углов. Следовательно, основание H высоты AH — внутренняя точка отрезка BC. Найдем отношения, в которых делят высоту AH (считая от основания) два других отрезка. Высота AH параллелограмма ABCD делится его диагональю BD в отношении:

Биссектриса же CL делит сторону НА треугольника НАС в отношении:

Отношения (2) и (3) равны в том и только в том случае, когда, [latex]\sin\gamma\cos\beta =\cos\gamma\sin\alpha [/latex], что эквивалентно условию (1).

Таким образом, условие (1) эквивалентно тому, что AH, BK, CL пересекаются в одной точке.

Замечания.

1. Для треугольника задачи [latex]\left | \angle BAC-\frac{\pi }{2} \right |< \frac{\pi }{2}-\angle BAH[/latex] тогда и только тогда, когда [latex]\angle BCA >\frac{\pi }{4}[/latex]. Это легко следует из (1).
2. Из предыдущего замечания сразу следует, что если в остроугольном треугольнике ABC биссектриса CL, медиана ВК и высота АН пересекаются в одной точке, то [latex]\angle BCA>\frac{\pi }{4}[/latex].Это — задача IV Всесоюзной математической олимпиады (см. книгу Н Б Васильева и А А.Егорова «Задачи Всесоюзных математических олимпиад» ~ М .: Наука, 1988; задача 135). Нетрудно показать, что для любого угла ВАС треугольник задачи существует. Из этого следует, что для тупоугольного треугольника задачи неравенство [latex]\angle ACB\geq \frac{\pi }{4}[/latex] выполняется не всегда.
3. Если в неостроугольном треугольнике ABC высота АН, медиана ВК и биссектриса CL пересекаются в одной точке, то [latex]\angle ACB>\angle ABC[/latex]. Это можно доказать геометрически, но проще — с помощью (1).

Л.Алътшулер, В.Сендерос