Задача из журнала «Квант» (1991 год, 12 выпуск)
Условие
Дан треугольник ABC и точка M внутри него. Докажите, что хотя бы один из углов MAB, MBC, MCA меньше или равен 30∘.
Пусть точка M внутри треугольника ABC такова, что все углы из условия задачи больше π6. Тогда она лежит в треугольнике AED (см. рис. 1).
Следовательно, достаточно доказать, что ∠ECA⩽ π6.
Рассмотрим конфигурацию рисунка 2, где r1=1, ∠BO2M= π3. Точка A лежит на прямой l в круге с центром O2, точка M — в треугольнике ABC. Покажем, что при этих условиях отрезки BM и O1O2 имеют общую точку.
Пусть это не так (см. рис. 3).
На рисунке 3 прямая MD — касательная к окружности с центром O1.
Имеем: O1C⊥l, треугольник O1CM правильный, отрезки BM и O1C пересекаются. Так как угол BMm равен π6, то прямая m, являющаяся касательной к окружности с центром O2, пересекается с l в точке луча DC
(либо m∥l). Следовательно, и точка A может лежать лишь на этом луче; значит, точка M лежит вне треугольника ABC.
Получили: O1O2∩BM≠∅.
Для решения задачи достаточно доказать, что r2⩽d(O2,l).(Здесь
d(O2,l) — расстояние от точки O2 до прямой l.) Пусть d(O2,l)⩾d(O1,l). Имеем: r2=2sinα,d(O2,l)=1+(cosα+√32⋅2sinα)cos(2π3−α)==12+2sin2α⩾2sinα=r2.
Случай d(O2,l)<d(O1,l) рассматривается аналогично.
Замечание. Несложное доказательство допускает также и следующее утверждение. Пусть точка M лежит внутри четырехугольника ABCD. Тогда хотя бы один из углов MAB, MBC, MCD, MDA меньше или равен π4. Докажите это утверждение самостоятельно.
