Processing math: 100%

Матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Операции над матрицами

Матрицы. Виды матриц

Определение. Прямоугольная таблица, на пересечении строк и столбцов которой находятся элементы поля, называется матрицей.

Нагляднее всего использование подобных таблиц демонстрируется в решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), поскольку решение зависит именно от матриц системы. Например, исходная система имеет вид:
a11x1++a1nxn=b1am1x1++amnxn=bm}.

Как видим, в системе m — количество уравнений, а n — количество неизвестных. Матрицы этой системы выглядят так: A=(a11a1nam1amn),B=(b1bm).

Матрица системы вида:
AB=(a11a1nam1amn|b1bm),

считается расширенной матрицей системы.

Определение. Элементы поля расположенные на пересечении строк и столбцов матрицы называются ее элементами.

Что касается индексации элементов матрицы, сперва записывается номер строки, в которой стоит элемент, а следом номер столбца. Нумерация строк и столбцов матрицы происходит вполне логичным образом: строки нумеруются сверху вниз, а столбцы — слева направо.

Определение. Количество строк и столбцов матрицы называют размерами матрицы.

Множество матриц над полем P размеров m×n обозначим Mm×n(P), а в случае m=nMn(P). Традиционно матрицы обозначают большими латинскими буквами. Если надо указать, из каких элементов состоит матрица, то пишут A=(aij)Mm×n(P).

Определение. Матрица, у которой одинаковое количество строк и столбцов, называется квадратной. Размер такой матрицы называют порядком.

ПримерA=(2543101270),

A — квадратная матрица третьего порядка.

Определение. Совокупность элементов квадратной матрицы, расположенных вдоль диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, называется главной диагональю матрицы, а вторая диагональ — побочной (см. рис.1).

Рис. 1

Определение. Матрица A=(aij)Mn(P) называется верхней (нижней) треугольной, если aij=0 для i>j (i<j). Иными словами, верхняя (нижняя) треугольная матрица — это матрица, у которой все элементы, расположенные ниже (выше) главной диагонали, равны нулю.

ПримерA=(181047002),B=(100840172),

A — верхняя треугольная матрица третьего порядка, B — нижняя треугольная матрица третьего порядка.

Определение. Если квадратная матрица является как нижней, так и верхней треугольной, то она называется диагональной. Иными словами, диагональная матрица — это матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.

ПримерA=(100020003),

A — диагональная матрица третьего порядка.

Определение. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны между собой, называется скалярной.

ПримерA=(800080008),

A — скалярная матрица третьего порядка.

Определение. Скалярная матрица, у которой диагональные элементы равны единице поля, называется единичной.

ПримерA=(100010001),

A — единичная матрица третьего порядка.

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

ПримерA=(000000000),

A — нулевая матрица третьего порядка.

Определение. Матрица вида A=(A100As),

где A1As — квадратные матрицы (блоки) произвольных порядков, расположенные таким образом, что их главные диагонали составляют главную диагональ матрицы A, а остальные элементы, не входящие в блоки равны нулю, называется клеточнодиагональной или квазидиагональной.

ПримерA=(250000630000001450002230009170000004),

A — клеточнодиагональная (квазидиагональная) матрица шестого порядка.

Равенство матриц. Операции над матрицами

Равенство матриц

Определение. Две матрицы одинаковых размеров называются равными, если совпадают их элементы с одинаковыми индексами.

Замечание. Для матриц A=(aij), B=(bij)Mm×n(P) равенство A=B, т.е. (aij)=(bij) означает aij=bij для всех i=¯1,m и j=¯1,n.

ПримерA=(2301),B=(2301).

Порядок матрицы A совпадает с порядком матрицы B, и элементы матриц с соотвествующими индексами равны, поэтому A=B.

Сложение матриц

Определение. Пусть заданы матрицы A=(aij), B=(bij)Mm×n(P). Их суммой называется матрица C=(cij)=A+B=(aij)+(bij)=(aij+bij)Mm×n(P).

Таким образом, можно складывать матрицы одинаковых размеров. При этом получается матрица тех же размеров.

ПримерA=(582014),B=(194315),A+B?

Решение

Умножение на элемент поля

Определение. Пусть задана матрица A=(aij)Mm×n(P) и элемент поля λP. Тогда произведением матрицы A на элемент λ называется матрица B=(bij)=λA=λ(aij)=(λaij)Mm×n(P).

Умножая матрицу произвольных размеров на элемент поля, в результате получаем матрицу тех же размеров, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на элемент поля.

ПримерA=(01841/22603),12A?

Решение

Отметим простейшие свойства операции умножения на элемент поля. Именно:

  1. 1A=A, AMm×n(P);
  2. λ(μA)=(λμ)A=(μλ)A, λ,μP, AMm×n(P);
  3. (λ+μ)A=λA+μA, λ,μP, AMm×n(P);
  4. λ(A+B)=λA+λB, λP, A,BMm×n(P).

Умножение матриц

Определение. Пусть заданы матрицы A=(aij)Mm×n(P), B=(bij)Mn×s(P). Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица C=AB, C=(cij)Mm×s(P) такая, что cij=nk=1aikbkj для всех i=¯1,m и j=¯1,s.

Из операций над матрицами умножение считается самой трудной. Рассмотрим эту операцию подробнее. На рис.2 используем вторую строку первой матрицы и третий столбец второй матрицы. 12+22+05=6.

Получившийся элемент стоит в строке и столбце с теми же номерами (вторая строка, третий столбец).

Рис. 2

Аналогично находятся другие элементы. На рис.3 используем первую строку матрицы слева и четвертый столбец матрицы справа.23+32+41=16.

Как видим, получившийся элемент стоит в строке и столбце с соответствующими номерами.

Рис. 3

ПримерA=(147202),B=(611732154),AB?

Решение

Легко заметить, что не любые матрицы можно перемножить. Требуется, чтобы число столбцов матрицы слева совпадало с количеством строк матрицы справа. Кроме того, если существуют оба произведения AB и BA, то, произведение AB, вообще говоря, не равно произведению BA, то есть операция умножения матриц не является коммутативной. Это объясняется несимметричностью использования строк и столбцов левого и правого сомножителей. Однако умножение матриц обладает свойством ассоциативности.

Пример

Примеры задач

Пример 1. Даны матрицы A, B и C. Найти матрицу D=2ABE+C, E — единичная матрица соответствующего порядка. A=(235128461),B=(2110733154),C=(21424612914101).

Решение

Пример 2. Дана матрица A. Найти A3, A=(2371113048).

Решение

Матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Операции над матрицами

Для закрепления материала предлагается тест:

Литература

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.
  2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.-400 с., стр. 194-197
  3. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.-416 с., стр. 72-80
  4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984.-384 с., стр. 112-115