Матрицы. Виды матриц
Определение. Прямоугольная таблица, на пересечении строк и столбцов которой находятся элементы поля, называется матрицей.
Нагляднее всего использование подобных таблиц демонстрируется в решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), поскольку решение зависит именно от матриц системы. Например, исходная система имеет вид:
a11x1+…+a1nxn=b1⋅⋅⋅⋅⋅am1x1+…+amnxn=bm}.
Матрица системы вида:
A∣B=(a11⋯a1n⋅⋅⋅am1⋯amn|b1⋅bm),
считается расширенной матрицей системы.
Определение. Элементы поля расположенные на пересечении строк и столбцов матрицы называются ее элементами.
Что касается индексации элементов матрицы, сперва записывается номер строки, в которой стоит элемент, а следом номер столбца. Нумерация строк и столбцов матрицы происходит вполне логичным образом: строки нумеруются сверху вниз, а столбцы — слева направо.
Определение. Количество строк и столбцов матрицы называют размерами матрицы.
Множество матриц над полем P размеров m×n обозначим Mm×n(P), а в случае m=n — Mn(P). Традиционно матрицы обозначают большими латинскими буквами. Если надо указать, из каких элементов состоит матрица, то пишут A=(aij)∈Mm×n(P).
Определение. Матрица, у которой одинаковое количество строк и столбцов, называется квадратной. Размер такой матрицы называют порядком.
ПримерA=(2−543101270),
Определение. Совокупность элементов квадратной матрицы, расположенных вдоль диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, называется главной диагональю матрицы, а вторая диагональ — побочной (см. рис.1).
Определение. Матрица A=(aij)∈Mn(P) называется верхней (нижней) треугольной, если aij=0 для i>j (i<j). Иными словами, верхняя (нижняя) треугольная матрица — это матрица, у которой все элементы, расположенные ниже (выше) главной диагонали, равны нулю.
ПримерA=(181047002),B=(100840172),
A — верхняя треугольная матрица третьего порядка, B — нижняя треугольная матрица третьего порядка.
Определение. Если квадратная матрица является как нижней, так и верхней треугольной, то она называется диагональной. Иными словами, диагональная матрица — это матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.
ПримерA=(100020003),
A — диагональная матрица третьего порядка.
Определение. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны между собой, называется скалярной.
ПримерA=(800080008),
A — скалярная матрица третьего порядка.
Определение. Скалярная матрица, у которой диагональные элементы равны единице поля, называется единичной.
ПримерA=(100010001),
A — единичная матрица третьего порядка.
Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.
ПримерA=(000000000),
A — нулевая матрица третьего порядка.
Определение. Матрица вида A=(A10⋱0As),
ПримерA=(250000630000001450002230009170000004),
A — клеточнодиагональная (квазидиагональная) матрица шестого порядка.
Равенство матриц. Операции над матрицами
Равенство матриц
Определение. Две матрицы одинаковых размеров называются равными, если совпадают их элементы с одинаковыми индексами.
Замечание. Для матриц A=(aij), B=(bij)∈Mm×n(P) равенство A=B, т.е. (aij)=(bij) означает aij=bij для всех i=¯1,m и j=¯1,n.
ПримерA=(2301),B=(2301).
Сложение матриц
Определение. Пусть заданы матрицы A=(aij), B=(bij)∈Mm×n(P). Их суммой называется матрица C=(cij)=A+B=(aij)+(bij)=(aij+bij)∈Mm×n(P).
Таким образом, можно складывать матрицы одинаковых размеров. При этом получается матрица тех же размеров.
ПримерA=(5−82014),B=(1943−1−5),A+B−?
Умножение на элемент поля
Определение. Пусть задана матрица A=(aij)∈Mm×n(P) и элемент поля λ∈P. Тогда произведением матрицы A на элемент λ называется матрица B=(bij)=λ⋅A=λ⋅(aij)=(λ⋅aij)∈Mm×n(P).
Умножая матрицу произвольных размеров на элемент поля, в результате получаем матрицу тех же размеров, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на элемент поля.
ПримерA=(0−1841/22−603),−12⋅A−?
Отметим простейшие свойства операции умножения на элемент поля. Именно:
- 1⋅A=A, ∀A∈Mm×n(P);
- λ⋅(μ⋅A)=(λμ)⋅A=(μλ)⋅A, ∀λ,μ∈P, ∀A∈Mm×n(P);
- (λ+μ)⋅A=λ⋅A+μ⋅A, ∀λ,μ∈P, ∀A∈Mm×n(P);
- λ⋅(A+B)=λ⋅A+λ⋅B, ∀λ∈P, ∀A,B∈Mm×n(P).
Умножение матриц
Определение. Пусть заданы матрицы A=(aij)∈Mm×n(P), B=(bij)∈Mn×s(P). Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица C=A⋅B, C=(cij)∈Mm×s(P) такая, что cij=n∑k=1aik⋅bkj для всех i=¯1,m и j=¯1,s.
Из операций над матрицами умножение считается самой трудной. Рассмотрим эту операцию подробнее. На рис.2 используем вторую строку первой матрицы и третий столбец второй матрицы. 1⋅2+2⋅2+0⋅5=6.
Аналогично находятся другие элементы. На рис.3 используем первую строку матрицы слева и четвертый столбец матрицы справа.2⋅3+3⋅2+4⋅1=16.
ПримерA=(147202),B=(611732154),A⋅B−?
Легко заметить, что не любые матрицы можно перемножить. Требуется, чтобы число столбцов матрицы слева совпадало с количеством строк матрицы справа. Кроме того, если существуют оба произведения A⋅B и B⋅A, то, произведение A⋅B, вообще говоря, не равно произведению B⋅A, то есть операция умножения матриц не является коммутативной. Это объясняется несимметричностью использования строк и столбцов левого и правого сомножителей. Однако умножение матриц обладает свойством ассоциативности.
Примеры задач
Пример 1. Даны матрицы A, B и C. Найти матрицу D=−2⋅A⋅B⋅E+C, E — единичная матрица соответствующего порядка. A=(−2−3−5−1−2−8−4−6−1),B=(2110733154),C=(21424−612914101).
Пример 2. Дана матрица A. Найти A3, A=(2371113048).
Матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Операции над матрицами
Для закрепления материала предлагается тест:
Литература
- Белозеров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.
- Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.-400 с., стр. 194-197
- Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.-416 с., стр. 72-80
- Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984.-384 с., стр. 112-115