Задача о выпуклых многоугольниках

Условие

а) Внутри выпуклого многоугольника площади $S_1$ и периметра $P_1$ расположен выпуклый многоугольник площади $S_2$ и периметра $P_2$. Докажите неравенство

$$2\dfrac{S_1}{P_1}>\dfrac{S_2}{P_2}$$ .

б)Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для выпуклых многогранников.

Решение

а) Заметим сначала, что для треугольников справедливо более сильное утверждение $\dfrac{S_1}{P_1}>\dfrac{S_2}{P_2}$. Это почти очевидно, так как $\dfrac{2S_1}{P_1}$ и $\dfrac{2S_2}{P_2}$ — радиусы кругов, вписанных в эти треугольники.

Для доказательства общего утверждения воспользуемся двумя фактами, которые мы докажем ниже:

1. Во всякий выпуклый многоугольник площади $S$ и периметра $P$ можно поместить круг радиуса $R>\dfrac{S}{P}$;
2. Для любого круга, содержащегося в данном многоугольнике $R\leqslant\dfrac{2S}{P}$.

Из $1.$ и $2.$ сразу следует утверждение а): поместим во внутренний многоугольник круг радиуса $R>\dfrac{S_2}{P_2}$; поскольку $R\leqslant\dfrac{2S_1}{P_1}$, получаем требуемое.

Докажем $1.$ Построим на каждой стороне (выпуклого) многоугольника прямоугольник с высотой $h = \dfrac{S}{P}$ (рис. $1$; $S$ — площадь, $P$ — периметр многоугольника). Эти прямоугольники перекрываются: они могут даже «вылезать» за пределы многоугольника. Поскольку суммарная площадь прямоугольников равна $S$, площадь покрытой ими части многоугольника меньше $S$. Поэтому найдётся непокрытая точка, удаленная от всех сторон на расстояние $R>h$

Рис. $1$

Докажем $2.$ Пусть $O$ — центр круга радиуса $R$, содержащегося в многоугольнике (рис. $2$). Поскольку длины высот треугольников с вершиной $O$, основаниями которых служат стороны многоугольника не меньше $R$, получаем $S\geqslant\dfrac12PR$. Поэтому $R\leqslant\dfrac{2S}{P}$. (Заметим, что если для какого-то круга, содержащегося в многоугольнике, $R=\dfrac{2S}{P},$ то этот круг вписан в многоугольник — докажите это!).

Рис. $2$

В пространственном случае можно доказать, что если выпуклый многогранник объёма $V_1$ и площади поверхности $S_1$ содержит выпуклый многогранник объёма $V_2$ и площади поверхности $S_2$, то $3\dfrac{V_1}{S_1}>\dfrac{V_2}{S_2}$.

Доказательство получается заменой слов: периметр — площадь поверхности, площадь — объём, круг — шар, треугольник — пирамида, прямоугольник — призма. Заметим, что константы $2$ (для плоского случая) и $3$ (для пространственного) нельзя заменить меньшими. Примеры, подтверждающие это, показаны на рисунках $3$ и $4$ (узкий прямоугольник внутри узкого длинного прямоугольника и узкая призма внутри узкой высокой призмы).

А. Келарев

Условие

Выпуклый многогранник имеет шесть вершин — по одной на каждой из полуосей прямоугольной системы координат. Докажите, что восемь проекций начала координат на грани многогранника принадлежат одной сфере.

Решение

Пусть три вершины многогранника $X_{0}, Y_{0}$ и $Z_{0}$ лежат на отрицательных полуосях, а три другие вершины $X_{1}, Y_{1}$ и $Z_{1}$ на положительных полуосях, точка $O$ — начало координат. Четыре проекции точки $O$ лежат на гранях многогранника $Z_{1}X_{1}Y_{1}$, $Z_{1}Y_{1}X_{0}$, $Z_{1}X_{0}Y_{0}$ и c $Z_{1}Y_{0}X_{1}$ — это точки $A$, $B$, $C$ и $D$ соответственно. Так как $\angle Z_{1}AO =\angle Z_{1}CO = \angle Z_{1}DO =90^{\circ}$, то сфера $S$, построенная на $Z_{1}O$ как на диаметре, содержит точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Докажем, что точки $A$, $B$, $C$ и $D$ принадлежат одной окружности, т.е. сечению сферы $S$. Спроектировав эти точки из точки $Z_{1}$ на ребра многогранника $X_{1}Y_{1}$, $Y_{1}X_{0}$ $X_{0}Y_{0}$ и $Y_{0}X_{1}$, получим точки $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ и $D_{1}$, соответственно. Эта проекция — стереографическая, и как только мы докажем, что $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ и $D_{1}$ принадлежат одной окружности, так сразу убедимся, что точки $A$, $B$, $C$ и $D$ тоже принадлежат одной окружности. Заметим, что точки $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ и $D_{1}$ — это проекции точки $O$ на стороны четырехугольника $X_{1}Y_{1}X_{0}Y_{0}$ , диагонали которого $X_{1}X_{0}$ и $Y_{1}Y_{0}$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$ (см. рисунок). В треугольнике $X_{0}Y_{1}X_{1}$ отрезок $B_{1}A_{1}$ антипараллелен стороне $X_{0}X_{1}$, т.е. $\angle Y_{1}B_{1}A_{1} =\angle Y_{1}X_{1}X$, a $\angle Y_{1}A_{1}B_{1} = \angle Y_{1}X_{0}X_{1}$; аналогичные равенства углов получим в треугольниках $Y_{1}X_{0}Y_{0}$, $X_{0}Y_{0}X_{1}$ и $Y_{0}X_{1}Y_{1}$. После этого простой подсчет покажет, что суммы противоположных углов в четырехугольнике $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ равны по $180^{\circ}$, т.е. около $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ можно описать окружность. Значит, точки $A$ $B$, $C$ и $D$ принадлежат одной окружности, а четырехугольник $ABCD$является одной из шести граней многогранника $M$, восемь вершин которого — это восемь проекций точки $O$ на грани исходного многогранника. Все грани многогранника $M$ (кубоида) являются четырехугольниками, около каждого из которых можно описать окружность. Рассмотрим сферу $Q$, содержащую две окружности, описанные около двух смежных граней многогранника $M$. Нетрудно убедиться, что сфера $Q$ содержит все вершины многогранника $M$.

В. Произволов