Решение

Докажем по индукции, что число частей не превосходит $n^{2}+1$. Для $n=1$ это ясно: парабола делит плоскость на две части.
Пусть доказано, что $n-1$ графиков делят плоскость не более, чем на $(n-1)^{2}+1$ частей. Проведем последний, $n$-й график. Он пересекается с каждым из $n-1$ предыдущих максимум в двух точках, т.е. он будет разбит не более чем на $2(n-1)+1=2n+1$ кусков (включая два крайних, уходящих в бесконечность). Каждый из этих кусков параболы делит одну из имеющихся частей плоскости на две. Таким образом, при проведении последней параболы число частей увеличится не более чем на $2n+1$, т.е. не превзойдет $(n-1)^{2}+1+2n+1=n^{2}+1$.

Легко строится пример, когда все графики попарно пересекаются в двух точках (см. рисунок) — при этом получится максимальное число частей, указанное в ответе.
Точно такие же образом можно подсчитать максимальное число частей, на которые делят плоскость $n$ прямых, $n$ окружностей и т.п.