Пусть в пространстве заданы три точки $B_1\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right),$ $B\left(\alpha, \beta, \gamma\right)$ и $B_2\left(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2\right),$ лежащие на одной прямой, причем $B$ не совпадает с $B_2.$ Если определить вектор $\overline{B_1B_2},$ то число $\lambda$ называется отношением, в котором точка $B$ делит $\overline{B_1B_2}.$ Причем, если $\lambda\gt 0,$ точка $B$ лежит между точками $B_1$ и $B_2,$ если $\lambda\lt 0,$ то $B$ находится вне отрезка, а если $\lambda = 0,$ то $B$ совпадает с $B_1.$

Однако задача заключается в нахождении координат точки $B,$ считая число $\lambda$ и координаты точек $B_1,$ $B_2$ известными. Для наглядности изобразим это в трехмерной системе координат и построим проекции точек $B,$ $B_1$ и $B_2$ на ось абсцисс:

Понятно, что проекции точек также определяют соответствующие вектора, поэтому точка, например $B_x,$ делит отрезок $B_{1x}B_{2x}$ также в отношении $\lambda.$ Учитывая формулы первой статьи, найдем координаты полученных векторов:

$$\overline{B_{1x}B_x} = \left(\alpha-\alpha_1\right),$$ $$\overline{B_xB_{2x}} = \left(\alpha_2-\alpha\right).$$

Тогда на примере проекций точек на ось абсцисс найдем координаты $B_x:$

$$\alpha = \frac{\alpha_1 +\lambda\alpha_2}{1+\lambda},$$ $$\beta = \frac{\beta_1+\lambda\beta_2}{1+\lambda},$$ $$\gamma = \frac{\gamma_1+\lambda\gamma_2}{1+\lambda}.$$

Для проекций точек на остальные оси формулы аналогичны. В случае плоскости вся разница состоит в том, что точки $B,$ $B_1$ и $B_2$ определяются двумя координатами.

Пример

Точка $L$ лежит на отрезке $MN.$ Известно, что отрезок $ML$ в два раза длиннее отрезка $NL.$ Найти точку $N,$ если $M\left(2, 4, -3\right),$ $L\left(-8, 6, -1\right).$

Решение

Из условия ясно, что точка $L$ делит отрезок $MN$ в отношении $2:1,$ считая от точки $M,$ то есть: $$\lambda = \frac{ML}{NL} = 2.$$ Обозначим координаты точки $N\left(\alpha, \beta, \gamma\right).$ Тогда: $$-8 = \frac{2+2\alpha}{1+2}\Rightarrow2\alpha = -26\Rightarrow\alpha = -12,$$ $$6 = \frac{4+2\beta}{1+2}\Rightarrow2\beta = 14\Rightarrow\beta = 7,$$ $$-1 = \frac{-3+2\gamma}{1+2}\Rightarrow2\gamma = 0\Rightarrow\gamma = 0.$$ Значит, точка $N$ имеет следующие координаты: $$N\left(-12, 7, 0\right).$$

[свернуть]

Смотрите также

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 3, $§$ 25, «Некоторые задачи» (стр. 82-83)
2. Виноградов И.М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1986, Глава 6, $§$ 9 «Деление отрезка в данном отношении» (стр. 137-139)
3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005, Глава 7, $§$ 47 «Деление отрезка в заданном соотношении» (стр. 134)
4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004, $§$ 3, пункт 3, «Деление отрезка в данном отношении» (стр. 17)