Решение

Начнём с того, что, поскольку мы должны найти две точки на расстоянии 1 лишь «с точностью до любого $\varepsilon$», мы можем ограничиться лишь раскрасками сравнительно простых «карт». В самом деле, нарисуем на плоскости мелкую сетку из квадратов или, удобнее, правильных шестиугольников со стороной $\varepsilon /4$ и раскрасим каждую шестиугольную клетку в тот цвет, который имел в первоначальной раскраске её центр.

Если мы найдём такие точки $A$, $B$ «с точностью до $\varepsilon /2$» на новой карте, то центры $A^{‘}$, $B^{‘}$ клеток, которым принадлежат $A$ и $B$, удовлетворяют условию «с точностью до $\varepsilon$»: ведь $\left|AB — A^{‘}B^{‘}\right|\leq 2\cdot \varepsilon /4\leq \varepsilon /2$, так что если $\left|1-AB \right|\leq \varepsilon /2$, то $\left|1-A^{‘}B^{‘} \right|\leq \varepsilon$. Мы можем считать при этом, что границы клеток раскрашены в два (а вершины — в три) цвета.

Предположим, что для некоторой раскраски (и некоторого $\varepsilon$) утверждение задачи неверно. Рассмотрим случай, когда некоторые три клетки разного цвета имеют общую вершину $X$. Пусть эти три цвета — Красный, Синий и Белый. Тогда кольцо радиусом 1 с центром $X$ шириной $\varepsilon$ должно быть целиком покрашено в два других цвета- скажем, Чёрный и Зелёный. Если оно целиком одного цвета — Ч, то, очевидно, на нём есть две точки этого цвета на расстоянии 1. В другом случае на кольце есть точка $Y$ двух цветов: Ч и З; тогда достаточно рассмотреть точки кольца на расстоянии 1 от $Y$ (см. рисунок).

Осталось рассмотреть случай, когда никакие три разных цвета не сходятся вместе. Тогда граница области каждого цвета должна иметь какой-то один определённый цвет — иначе, идя по границе, мы должны были бы наткнуться на тройную точку. Рассмотрим некоторую точку $X$ на границе двух цветов, скажем цветов К и С. Кольцо радиусом 1 (шириной $\varepsilon$) и центром $Y$ имеет цвета К, С, З. Рассмотрим Зелёную область, содержащую одну из точек пересечения двух колец. У неё не может быть границы одного цвета: в одном из колец она имеет цвета Ч или Б, в другом — К или С. Получили противоречие, завершающее решение.