Метка: Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом в точке непрерывности подынтегральной функции.

Пусть, например, $a<x_{0}<b$ (в точках $a$ и $b$ можно рассматривать только односторонние производные). Тогда для любого $h \neq 0$, такого, что $x_{0} + h \in [a,b]$, имеем

$\frac{F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h} = \frac{1}{h} ( \int_{a}^{x_{0}+h} f(t)dt — \int_{a}^{x_{0}} f(t)dt ) = \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} f(t)dt.$

Отсюда следует

$| \frac{F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h} — f(x_{0}) | = | \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} f(t)dt — f(x_{0}) | = | \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} [f(t)-f(x_{0})]dt | \leq \frac{1}{|h|} | \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} | f(t)-f(x_{0}) | dt | \equiv \rho (h).$

Если мы покажем, что $\rho(h) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$, то тем самым теорема будет доказана. Для оценки $\rho(h)$ предположим для определенности, что $h>0$. Зададим произвольное $\varepsilon > 0$ и, пользуясь непрерывностью функции $f$ в точке $x_{0}$, найдем такое $\delta > 0$, что для всех $t$, удовлетворяющих условию $|t — x_{0}| < \delta$, справедливо неравенство $|f(t)-f(x_{0})| < \varepsilon$. Если теперь $0<h<\delta$, то получим

$\rho(h) = \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} |f(t) — f(x_{0})|dt \leq \varepsilon$

Отсюда следует, что $\rho(h) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$.

Случай $h<0$ исчерпывается аналогичным образом. В точках $x_{0} = a$ и $x_{0} = b$ приведенные выше рассуждения достаточно применить для $h>0$ и $h<0$, соответственно. $\blacksquare$

Условие непрерывности функции $f$ в точке $x_{0}$ не является необходимым для дифференцируемости $F$ в точке $x_{0}$. Например, если взять непрерывную на отрезке $[a,b]$ функцию $f$, то, по доказанной теореме, функция $F$ будет дифференцируемой в каждой точке отрезка $[a,b].$ Изменим теперь значение функции $f$ в одной точке. В результате получим разрывную функцию $f$. В то же время, как легко видеть, функция $F$ останется прежней, т.е. $\bar{F}(x) \equiv \int_{a}^{x} \bar{f}(t)dt = F(x) (x \in [a,b])$ (поскольку изменение функции в конечном числе точек не влияет на величину ее интеграла). Таким образом, получим, что интеграл с переменным верхним пределом от разрывной функции может оказаться дифференцируемым.

Рассмотрим функцию

$latex f(x) =

$$\begin{cases} & \sin{\frac{1}{x}}, 0<x\leq 1, \\ & 0 , x=0. \end{cases}$$ $

Эта функция ограничена на отрезке $[0,1]$ и имеет единственную точку разрыва $x_{0} = 0$. Значит, она интегрируема на $[0,1]$. Обозначим $F(x) = \int_{0}^{x} f(t)dt$. Поскольку $f$ непрерывна в каждой точке $x \neq 0$, то, по предыдущей теореме, функция F дифференцируема в каждой точке $x \in (0,1]$ и $F'(x) = \sin{\frac{1}{x}}$. В точке $x_{0}=0$ функция $f$ разрывна и поэтому предыдущая теорема неприменима. Однако можно показать, что существует $F’+(0) = 0$.

Пусть $f(x) = \text{sign } x, -1 \leq x \leq 1.$ Если $-1 \leq x < 0$, то $f(t) = -1, -1 \leq t \leq x$ и $\int_{-1}^{x} f(t)dt = -(x-(-1)) = -(x+1)$.

Если же $0 \leq x \leq 1,$ то $\int_{-1}^{x} f(t)dt = \int_{-1}^{0} f(t)dt + \int_{0}^{x} f(t)dt = -1+x$.

Таким образом,

$latex F(x) =

$$\begin{cases} & -(x+1), -1 \leq x < 0, \\ & x-1, 0 \leq x \leq 1. \end{cases}$$ $

Легко видеть, что в точке $x_{0} = 0$ функция $F$ недифференцируема.