В параллелограмме $ABCD$ нашлась точка $Q$ такая, что $\angle AQB + \angle CQD=180°$. Докажите равенства углов: $\angle QBA = \angle QDA$ и $\angle QAD = \angle QCD$ (рис.1). Рис. 1
Треугольник $ABQ$ параллельно перенесем на вектор $\overrightarrow{\rm BC}$, и новое положение точки $Q$ обозначим через $P$ (рис. 2). Рис. 2 Ввиду условия задачи, около четырехугольника $QCPD$ можно описать окружность. Но тогда $$\angle DCP(= \angle QBA) = \angle PQD = \angle QDA,$$ а также $$\angle QCD = \angle QPD = \angle QAD,$$ т.е. утверждение доказано.
