Задача №1:

Найти ортогональную проекцию  $y$ и ортогональную составляющую $z$ вектора $x$ на линейное подпространство $L$ :

$x=(4,-1,-3,4)$, $L$ натянуто на векторы $a_1=(1,1,1,1), a_2=(1,2,2,-1), a_3=(1,0,0,3)$.

Решение:

для начала найдем базу системы векторов $a_1, a_2, a_3$

$\begin{Vmatrix} 1&1&1&1 \\ 1&2&2&-1 \\ 1&0&0&3 \end{Vmatrix}$ ~ $\begin{Vmatrix} 1&1&1&1 \\ 0&1&1&-2 \\ 0&-1&-1&2 \end{Vmatrix}$

отсюда получается, что $y=p_1*a_1+p_2*a_2$, а $x=p_1*a_1+p_2*a_2+z$

домножим последние уравнение на $a_1$ и $a_2$ и получим систему:

$\begin{cases} (x,a_1)=p_1*(a_1,a_1)+p_2*(a_2,a_1) \\ (x,a_2)=p_1*(a_1,a_2)+p_2(a_2,a_2) \end{cases}$  $\begin{cases} 4=4*p_1+4*p_2 \\ -8=4*p_1+10*p_2 \end{cases}$  $\begin{cases} p_1=3 \\ p_2=-2 \end{cases}$

отсюда получаем $y=3*a_1-2*a_2=(1,-1,-1,5)$ и $z=x-y=(3,0,-2,-1)$

Ответ: $z=(3,0,-2,-1)$ $y=(1,-1,-1,5)$.

Задача №2:

Найти  ортогональную  составляющую $z$ вектора $x$ и угол между$x$  и линейным подпространством $L$:

$x=(2,2,1,1)$, $L$ натянуто на векторы $a_1=(3,4,-4,-1), a_2=(0,1,-1,-2)$.

Решение:

$x=p_1*a_1+p_2*a_2+z$, домножим  уравнение на $a_1$ и $a_2$ и получим систему:

$\begin{cases} (x,a_1)=p_1*(a_1,a_1)+p_2*(a_2,a_1) \\ (x,a_2)=p_1*(a_1,a_2)+p_2(a_2,a_2) \end{cases}$ $\begin{cases} 9=42*p_1+10*p_2 \\ -1=10*p_1+6*p_2 \end{cases}$ $\begin{cases} p_1=\frac{8}{19} \\ p_2=-\frac{33}{38} \end{cases}$

отсюда получаем $y=\frac{8}{19}a_1-\frac{33}{38}a_2=(\frac{24}{19},\frac{32}{19},-\frac{32}{19},-\frac{8}{19})-(0,\frac{33}{38},-\frac{33}{38},-\frac{66}{38})=(\frac{24}{19},\frac{31}{38},-\frac{31}{38},\frac{25}{19})$ и $z=x-y=(\frac{14}{19},\frac{45}{38},\frac{69}{38},-\frac{6}{19})$

чтобы найти угол между $x$ и подпространством достаточно найти угол между вектором и ортогональной проекцией, то есть: $\cos\alpha=\frac{x_1*y_1+x_2*y_2+x_3*y_3+x_4*y_4}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2} * \sqrt{y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2}} =\frac{\sqrt{16815}}{190}$

Ответ: $z=(\frac{14}{19},\frac{45}{38},\frac{69}{38},-\frac{6}{19})$,  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{16815}}{190}$

Задача №3:

Найти ортогональную проекцию  $y$ и ортогональную составляющую $z$ вектора $x$ на линейное подпространство $L$:

$x=(5,2,-2,2)$, $L$ натянуто на векторы $a_1=(2,1,1,-1), a_2=(1,1,3,0), a_3=(1,2,8,1)$.

Решение:

$\begin{Vmatrix} 2&1&1&-1 \\ 1&1&3&0 \\ 1&2&8&1 \end{Vmatrix}$  ~ $\begin{Vmatrix} 1&1&3&0 \\ 2&1&1&-1 \\ 1&2&8&1 \end{Vmatrix}$  ~ $\begin{Vmatrix} 1&1&3&0 \\ 0&-1&-5&-1 \\ 0&1&5&1 \end{Vmatrix}$

отсюда получается, что $y=p_1*a_1+p_2*a_2$, а $x=p_1*a_1+p_2*a_2+z$

домножим последние уравнение на $a_1$,  $a_2$,  и получим систему:

$\begin{cases} (x,a_1)=p_1*(a_1,a_1)+p_2*(a_2,a_1) \\ (x,a_2)=p_1*(a_1,a_2)+p_2(a_2,a_2) \end{cases}$  $\begin{cases} 8=7*p_1+6*p_2 \\ 1=6*p_1+11*p_2 \end{cases}$  $\begin{cases} p_1=2 \\ p_2=-1 \end{cases}$

отсюда получаем $y=2*a_1-a_2=(3,1,-1,-2)$ и $z=x-y=(2,1,-3,-4)$

Ответ:  $y=(3,1,-1,-2)$ , $z=(2,1,-3,-4)$.

Список использованной литературы:

1. Проскуряков И.В.Сборник задач по линейной алгебре : Наука, 3-е издание. 1966 год. №1402, 1370, 1371.

тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Данный тест предназначен для проверки своих знаний по данной теме.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 1

   Расположите в порядке возрастания.

   • $$\sin0^\circ$$
   • 1
   • 2
   • $$e$$
   • $$\pi$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 1

   Поставьте соответствие между значениями и выражениями.

   Элементы сортировки

   • $$\frac{1}{2}$$
   • 13
   • $$\sqrt{30}$$

   • $$\cos60^\circ$$

   • Скалярное произведение векторов $$x=(2,4,1,1)$$ и $$y=(1,2,0,3)$$

   • Модуль вектора $$x=(1,2,4,3)$$

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 1

    

   Чему равен ранг матрицы  $latex \begin{Vmatrix} 1&1&1&1 \\ 0&1&1&-2 \\ 0&-1&-1&2 \end{Vmatrix}$
   Правильно
   

   Неправильно