Интегрирование функций вида R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},…,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}})&s=2
Интегралы типа ∫R(x,(ax+bcx+d)r1,…,(ax+bcx+d)rn),
где a, b, c, d — действительные числа, rk∈Q(k=¯1,n), сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки
ax+bcx+d=tp,
где p — наименьшее общее кратное знаменателей чисел r1,r2,…rn.
Действительно, из подстановки ax+bcx+d=tp следует, что x=b−dtpctp−a и dx=−dptp−1(ctp−a)−(b−dtp)cptp−1(ctp−a)2dt, т.е. x и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби ax+bcx+d выражается через рациональную функцию от t.
Примеры
1)Найти I=∫√x+1+2(x+1)2−√x+1dx. Сделав подстановку
t=√x+1;dx=2tdt
будем иметь
I=2∫t+2t3−1dt=∫(2t−1−2t+2t2+t+1)dt=2∫dtt−1−∫2t+1t2+t+1dt−∫dt(t+112)2+34=
=ln(t−1)2t2+t+1−2√3arctg2t+1√3+C.
=ln(t−1)2t2+t+1−2√3arctg2t+1√3+C.
2) Найти интеграл I=∫dx3√(x+2)2−√x+2. Наименьшее общее кратное знаменателей дробей 23 и 12 есть 6. Сделав замену
t=6√x+2;dx=6t5dt
будем иметь
I=∫6t5dtt4−t3=6∫t2dtt−1=6∫(t2−1)+1t−1dt=6∫(t+1+1t−1)dt=3t2+6t+
+6ln|t−1|+C=33√x+2+66√x+2+6ln|6√x+2−1|+C.
+6ln|t−1|+C=33√x+2+66√x+2+6ln|6√x+2−1|+C.
Литература
