Метка: колебание функции

Критерии интегрируемости по Риману в терминах колебаний


Определение. Для ограниченной на отрезке \left[ {\alpha ,\beta } \right] функции \varphi число[latex]\omega = \sup \left| {\varphi \left( {x’} \right) — \varphi \left( {x»} \right)} \right|,[/latex] где x',x'' \in \left[ {\alpha ,\beta } \right], называется колебанием функции \varphi на \left[ {\alpha ,\beta } \right]. Обозначим
$$M = {\sup _{\alpha \leqslant x \leqslant \beta }}\varphi \left( x \right)$$ $$m = {\inf _{\alpha \leqslant x \leqslant \beta }}\varphi \left( x \right).$$ Тогда, как легко видеть, \omega = M - m. Пусть теперь ограниченная функция f задана на отрезке \left[ {a,b} \right]. Тогда для произвольного разбиения \Pi колебание f на \left[ {{x_i},{x_{i + 1}}} \right] равно {\omega _i} = {M_i} - {m_i}. Поэтому

[latex]{\overline S _\Pi } — {\underline S _\Pi } = \sum\limits_{i = 0}^{n — 1} {\left( {{M_i} — {m_i}} \right)\Delta {x_i} = \sum\limits_{i = 0}^{n — 1} {{\omega _i}\Delta {x_i}} } [/latex].

Таким образом, равносильная формулировка критерия интегрируемости примет следующий вид.
Теорема (критерий интегрируемости в терминах колебаний). Для того чтобы ограниченная функция f была интегрируемой по Риману на отрезке \left[ {a,b} \right], необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство

[latex]\mathop {\lim }\limits_{d(\Pi ) \to 0} \sum\limits_{i = 0}^{n — 1} {{\omega _i}\Delta {x_i} = 0} [/latex],

где {\omega _i} – колебание функции f на отрезке \left[ {{x_i},{x_{i + 1}}} \right].

Литература

  • В. И. Коляда, А. А. Кореновский Курс лекций по математическому анализу. Часть 1, Одесса, Астропринт, 2009 [стр. 85]