Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Метка: конечный предел

Критерий Коши сходимости последовательности

Критерий Коши сходимости последовательности

Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство

Необходимость:

Пусть последовательность имеет конечный предел. Докажем, что она является фундаментальной.
Пусть latex∃limn→∞xn=a по определению предела последовательности: latex∀ε>0 ∃Nε:∀p≥Nε |xp−a|<ε

Поскольку latexε произвольное, то мы можем взять вместо него, к примеру, latexε2:
latexp=n>Nε |xn−a|<ε2
latexp=m>Nε |xm−a|<ε2
latex|xn−xm|=|(xn−a)+(a−xm)|≤|xn−a|⏟≤ε2+|xm−a|⏟≤ε2<ε
То есть: latex|xn−xm|<ε, а значит, latex{xn}∞n=1 —   фундаментальная по определению.
Необходимость доказана.

Достаточность:

Пусть latex{xn}∞n=1 — фундаментальная последовательность. Докажем, что она имеет конечный предел. Сначала покажем, что latex{xn}∞n=1 — ограничена.
Поскольку latex{xn}∞n=1 — фундаментальная последовательность, то по определению фундаментальной последовательности:
latex∀ε>0 ∃Nε:∀ n>Nε и latex∀ m>Nε latex|xn−xm|<ε

Так как latexε произвольное, то возьмем latexε=1:

latex|xn|=|(xn−xNϵ)+xNϵ|≤|xn−xNϵ|⏟≤1+|xNϵ|≤1+|xNϵ|
latex∀n≥Nε:|xn|<(1+|xNϵ|)=const=C latex|xn|≤C
latexC=max{1+|xNϵ|;|x1|,|x2|,…,|xNε−1|}⇒
latex⇒∀nϵN:|xn|≤C⇒
latex{xn}∞n=1 — ограничена.

По теореме Больцано-Вейерштрасса последовательность latex{xn}∞n=1 имеет сходящуюся подпоследовательность latex{xnk}∞k=1

Пусть latexlimk→∞xnk=a, покажем, что число a и будет пределом всей последовательности latex{xn}∞n=1:
Поскольку latex{xn}∞n=1 фундаментальная:
latex∀ε>0 ∃nε:∀n,m>nε latex|xn−xm|<ε2

Так как latex{xnk}∞k=1 сходящаяся:
latexlimk→∞xnk=a:∀ε>0 ∃kε:∀nk≥nkε
latex|xnk−a|<ε2
latex∀ε>0:|xn−a|=|(xn−xnk)+(xnk−a)|≤|xn−xnk|+|xnk−a|<ε
Возьмём latexNε=max{nε,nkε}, тогда:latex∀ε>0 ∃ Nε:∀n≥Nε:|xn−a|<ε2+ε2=ε

Достаточность доказана.

Пример 1

Докажем, что последовательность latexxN=1+12+13+…+1N не является фундаментальной.

Спойлер

Пример 2

Доказать, что последовательность, заданная общим членом latexxn=3nn+1 фундаментальная.

Спойлер

Список литературы:

Тест на тему: Критерий Коши сходимости последовательности

Тест на проверку знаний по данной теме