Задача из журнала «Квант»(2000, №5)

Условие

Пусть $a,b$ — натуральные числа. Проведем через точку $(a;b)$ прямую, отсекающую от первого координатного угла треугольник.
а) Докажите, что количество точек с целыми неотрицательными координатами, которые лежат внутри или на сторонах этого треугольника, больше, чем $2 \cdot a \cdot b + a + b$.
б) Докажите, что эта оценка точная: через точку $(a;b)$ можно провести прямую, отсекающую от первого координатного угла треугольник, внутри и на сторонах которого всего $2 \cdot a \cdot b + a + b$ точек с целыми неотрицательными координатами.

Решение

Рассмотрим прямоугольник $OABC$ с центром в точке $P(a;b)$, и сторонами, параллельными осям координат(рис.1). Внутри и на сторонах этого прямоугольника всего $(2 \cdot a + 1) \cdot (2 \cdot b+1) =$ $4\cdot a \cdot b + 2\cdot a + 2 \cdot b +1$ целочисленных точек.
 

Pис.1
 
Чуть-чуть сдвинем точку $A$ вправо. Через полученную точку $A'$ и точку $P$ проведем прямую до пересечения с осью ординат в точке $C'$. Если сдвиг был достаточно мал, то в треугольнике $OA’C'$ не появится ни одной точки с целыми координатами, которой не было бы в треугольнике $OAC$.
При центральной симметрии относительно $P$ любая целочисленная точка прямоугольника $OABC$ переходит в целочисленную точку этого же прямоугольника. Поэтому все отличные от $P$ целочисленные точки прямоугольника разбиваются на пары точек, симметричных относительно $P$.
Итак, если $A'$ достаточно близка к точке $A$, то внутри и на границе треугольника $OA’C'$ расположена ровно половина отличных от $P$ целочисленных точек, т.е. $2 \cdot a \cdot b + a + b$ точек. Вместе с точкой $P$ получаем всего $2 \cdot a \cdot b + a + b + 1$ точек. Мы решили пункт б).
 
Теперь займемся пунктом а). Для определенности, пусть прямая отсекает от первого координатного угла треугольник $OA_1C_1$, где точка $A_1$ расположена правее точки $A$(рис.2).
 

Рис.2
 
Чтобы получить треугольник $OA_1C_1$ из треугольника $OAC$, достаточно «отрезать» от последнего треугольник $CC_{1}P$ и добавить треугольник $AA_{1}P$.
Но при центральной симметрии относительно точки $P$ треугольник $CC_{1}P$ переходит в треугольник, являющийся частью треугольника $AA_{1}P$(закрашенный на рисунке 2). Целочисленные координаты при этом переходят в целочисленные. Задача решена.