В трехмерной системе координат зададим две точки $B_1$ и $B_2.$ Рассмотрим вектора $\overline{OB_1}\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right)$ и $\overline{OB_2}\left(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2\right),$ где точка $O$ — начало координат.

Определение. Углом между двумя векторами называется наименьший угол, при повороте на который направление одного вектора совпадает с направлением второго.

Для нахождения угла между векторами $\overline{OB_1}$ и $\overline{OB_2}$ воспользуемся материалом первой статьи. Пусть точки $B_1$ и $B_2$ определяют вектор $\overline{B_1B_2}.$ Тогда $\overline{B_1B_2}$ представим в виде разности векторов $\overline{OB_2}$ и $\overline{OB_1}:$

Из рисунка видно, что искомый угол $B_1OB_2$ можно найти с помощью теоремы косинусов:

$$\left|\overline{OB_2}-\overline{OB_1}\right|^2 = \left|\overline{OB_1}\right|^2 + \left|\overline{OB_2}\right|^2-2\cdot\left|\overline{OB_1}\right|\cdot\left|\overline{OB_2}\right|\cdot\cos \left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right).$$

Теперь необходимо найти длины векторов. Опираясь на материал третьей статьи, имеем:

$$\left|\overline{OB_1}\right| = \sqrt{\alpha_1^2+\beta_1^2+\gamma_1^2},$$ $$\left|\overline{OB_2}\right| = \sqrt{\alpha_2^2+\beta_2^2+\gamma_2^2}.$$ Подставим результат в формулу: $$\left(\alpha_2-\alpha_1\right)^2 + \left(\beta_2-\beta_1\right)^2 + \left(\gamma_2-\gamma_1\right)^2 = \alpha_1^2 + \beta_1^2 + \gamma_1^2 + \\ + \alpha_2^2 + \beta_2^2 + \gamma_2^2-2\sqrt{\alpha_1^2 + \beta_1^2 + \gamma_1^2}\cdot\sqrt{\alpha_2^2 + \beta_2^2 + \gamma_2^2}\cdot\cos\left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right),$$ и упростим выражение: $$-2\left(\alpha_2\alpha_1 + \beta_2\beta_1 + \gamma_2\gamma_1\right) = -2\sqrt{\alpha_1^2 + \beta_1^2 + \gamma_1^2}\cdot\sqrt{\alpha_2^2 + \beta_2^2 + \gamma_2^2}\cdot\cos\left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right).$$ Откуда: $$\cos\left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right) = \frac{\alpha_1\alpha_2 + \beta_1\beta_2 + \gamma_1\gamma_2}{\sqrt{\alpha_1^2 + \beta_1^2 + \gamma_1^2}\cdot\sqrt{\alpha_2^2 + \beta_2^2 + \gamma_2^2}}.$$ В случае двумерного пространства формула примет следующий вид: $$\cos\left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right) = \frac{\alpha_1\alpha_2 + \beta_1\beta_2}{\sqrt{\alpha_1^2 + \beta_1^2}\cdot\sqrt{\alpha_2^2 + \beta_2^2}}.$$

Пример

Даны произвольные точки $A\left(-2, 3, 5\right),$ $B\left(6, 4, -3\right)$ и $C\left(5, -4, -1\right).$ Найти угол между векторами $\overline{AB}$ и $\overline{AC}.$

Решение

Вычислим координаты векторов $\overline{AB}$ и $\overline{AC}:$ $$\overline{AB} = \left(6+2, 4-3, -3-5\right) = \left(8, 1, -8\right),$$ $$\overline{AC} = \left(5+2, -4-3, -1-5\right) = \left(7, -7, -6\right).$$ Теперь вычислим их длины: $$\left|\overline{AB}\right| = \sqrt{64+1+64} = \sqrt{129},$$ $$\left|\overline{AC}\right| = \sqrt{49+49+36} = \sqrt{134}.$$ И найдем скалярное произведение: $$\left(\overline{AB}, \overline{AC}\right) = 56-7+48 = 97.$$ Обозначим за $\phi$ угол между векторами. Тогда: $$\cos\phi = \frac{97}{\sqrt{17286}}.$$ Откуда: $$\phi = \arccos\left(\frac{97}{\sqrt{17286}}\right).$$

[свернуть]

Смотрите также

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 3, $§$ 25, «Некоторые задачи» (стр. 81-82)
2. Виноградов И.М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1986, Глава 6, $§$ 5 «Косинус угла между двумя векторами» (стр. 131-135)
3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005, Глава 7, $§$ 46 «Направляющие косинусы» (стр. 133)