Формула замены переменной в кратном интеграле

Теорема (формула замены переменной в кратном интеграле)

Пусть отображение F:ΩRn, где ΩRn — открытое множество, заданное при помощи непрерывно дифференцируемых функций xi=ϕi(u1,,un),i=1,,n, является взаимно однозначным и удовлетворяет следующим условиям:

  1. производные ϕiui ограничены в Ω;
  2. производные ϕiui равномерно непрерывны в Ω;
  3. якобиан J(u) отображения удовлетворяет при uΩ условию |J(u)|α>0.

Тогда, если G — измеримый компакт с кусочно-гладкой границей, лежащий во множестве Ω и f(x) — непрерывна на множестве G=F(G), то справедлива следующая формула замены переменных в кратном интеграле:
Gf(x)dx=Gf(ϕ1(u),,ϕn(u))|J(u)|du(),


где x=(x1,,xn),u=(u1,,un).

Доказательство

Для начала рассмотрим еще 2 вспомогательных свойства:

  1. Если LΩ есть непрерывно дифференцируемая кривая, то ее образ L=F(L) есть непрерывно дифференцируемая кривая.
  2. Если G — область и ¯GΩ (где ¯G — замыкание области G), тогда ее образ G=F(G). Образ границы Ω есть граница Ω.

Первое свойство является простым следствием правила нахождения производной сложной функции, а второе — теоремы о неявных функциях.

Рассмотрим доказательство для плоского случая (двойных интегралов). В силу свойств непрерывных функций образ G компакта G при непрерывном и взаимно однозначном отображении F является компактом, а по свойствам отображения F, указанным выше, граница компакта G является кусочно-гладкой кривой. Кусочно-гладкая кривая имеет жорданову меру нуль, а так как ограниченное множество измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет жорданову меру нуль, то компакт G измерим, а оба интеграла в формуле () существуют как интегралы от функций, непрерывных на компактах.

Поскольку компакт G лежит в открытом множестве Ω, то границы этих множеств не пересекаются. Так как граница любого множества замкнута и граница ограниченного множества ограничена, то расстояние между границами множеств G и Ω есть положительное число δ.

Примечание №1: под разбиением множества A далее будем подразумевать совокупность измеримых множеств {A1,,An}, таких что A1An=A и AiAj=,ij. Клеткой назовем множество вида K={(x1,,xn)|aixi<bi,1in}, прямоугольником — клетку в пространстве R2.

Пусть P есть замкнутый квадрат, содержащий компакт G. Если разбить стороны квадрата P на равные части длины h<δ (чтобы отсутствовали квадраты, содержащие одновременно элементы границ G и Ω), то и сам квадрат P окажется разбит на квадратные клетки с площадью h2. Разбиение квадрата P порождает разбиение T компакта G. Если малый квадрат со стороной h целиком лежит внутри компакта G, то он является элементом разбиения T, а если он содержит граничные точки G, то соответствующим элементом разбиения является пересечение этого квадрата с компактом G. Отображение F порождает разбиение T компакта G=F(G), причем элементами разбиения T являются образы элементов разбиения T. При отбрасывании в интегральной сумме слагаемых, которым отвечают квадраты, имеющие непустое пересечение с множеством жордановой меры нуль, характер соответствующего предела при мелкости разбиения, стремящемся к нулю, не изменится (о чем свидетельствует соответствующая лемма, см. примечание №2). А значит, при написании интегральных сумм можно учитывать только слагаемые, соответствующие целым квадратам и их образам при отображении F, остальные квадраты будут иметь непустое пересечение с границей G. Так как отображение F равномерно непрерывно, то мелкость разбиения T стремится к нулю, когда стремится к нулю мелкость разбиения T.

Если малые квадраты P1,,Pn лежат внутри компакта G, то
их образы P1,,Pn лежат внутри G. Пусть (ui,vi) — координаты точки, лежащей в левом нижнем углу квадрата Pi, a (ϕ(ui,vi),ψ(ui,vi)) — образ этой точки при отображении F.

Тогда можем записать интегралы, входящие в формулу () как пределы интегральных сумм:
Gf(x,y)dxdy=limh0ni=1f(xi,yi,)m(Pi),
Gf(ϕ(u,v),ψ(u,v))|J(u,v)|dudv= limh0ni=1f(ϕ(ui,vi),ψ(ui,vi))|J(ui,vi)|m(Pi).

Для доказательства формулы () покажем, что разность этих интегральных сумм стремится к нулю при h0. В силу леммы о геометрическом смысле модуля якобиана отображения,
|m(Pi)|J(ui,vi)|m(Pi)|α(h)m(Pi),limh0α(h)=0.
Принимая во внимание, что ϕ(ui,vi)=xi,ψ(ui,vi)=yi,|f(x,y)|<M (последнее в силу того, что функция f непрерывна на компакте, а значит и ограниченна на нем), получаем оценку для разности интегральных сумм:
|ni=1f(xi,yi)m(Pi)ni=1f(ϕ(ui,vi),ψ(ui,vi))|J(ui,vi)|m(Pi)| ni=1|f(xi,yi)m(Pi)f(xi,yi)|J(ui,vi)|m(Pi)|= ni=1|f(xi,yi)|m(Pi)|J(ui,vi)|m(Pi)|| Mni=1α(h)m(Pi)= Mα(h)ni=1m(Pi) Mα(h)m(G), из которой следует, что эта разность стремится к нулю при h0 (т.к. M и m(G) — константы). Теорема доказана.

Примечание №2: о геометрическом смысле модуля якобиана отображения можно прочитать, например, в курсе лекций по мат. анализу В.И. Коляда, А.А. Кореновский (т.2, стр. 219) или в Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа» (стр. 471). Лемма об отбрасывании слагаемых в интегральной сумме также присутствует и доказана, например, в учебнике Тер-Крикорова, стр. 458.

Замечание

Примеры

Основными примерами использования данной формулы являются переход к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам для вычисления двойных и тройных интегралов.

Тест: формула замены переменной в кратном интеграле

Для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме.


Таблица лучших: Замена переменной в кратных интегралах

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных