Теорема. Если функция монотонна на отрезке
, то она интегрируема на этом отрезке.
Доказательство. Пусть, например, возрастает. Возьмём произвольное разбиение
. Тогда
,
поскольку колебание функции является разностью между наибольшим и наименьшим значениями функции. Получим
[latex]\sum\limits_{i = 0}^{n — 1} {{\omega _i}\Delta {x_i} \le d\left( \Pi \right)} \sum {\left( {f\left( {{x_{i + 1}}} \right) — f\left( {{x_i}} \right)} \right) = d\left( \Pi \right)\left[ {f\left( b \right) — f\left( a \right)} \right]} [/latex]
.
Отсюда видно, что выполнены условия критерия интегрируемости в терминах колебаний и теорема доказана.
Замечание. Из вышеизложенной теоремы видно, что существуют разрывные интегрируемые функции. В частности, монотонная функция может иметь
разрывы в счётном множестве точек. Поэтому интегрируемая функция может иметь счётное множество точек разрыва.
Пример. Положим . Ясно, что каждая точка вида
является точкой разрыва функции, так что множество точек разрыва функции
счётно.
С другой стороны, поскольку возрастает на
, то, по вышеизложенной теореме, она интегрируема на
.
Интегрируемость на отрезке
В данном тесте будут проверены ваши знания свойств интегрируемости функций на отрезке. Удачи!
Таблица лучших: Интегрируемость на отрезке
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |