Так как мы работаем с критерием, то доказательство будет проведено в обе стороны.

Необходимость. Пусть $\alpha$ — $k$-кратный корень многочлена $f(x)$. Необходимо доказать, что $\alpha$ — корень кратности $k-1$ многочлена $f'(x)$. По определению кратного корня можно записать следующее: $$f(x)=\left(x-\alpha\right)^kf_{1}(x),\, f_{1}(x) \bar\vdots (x-\alpha).$$

Стоит отметить, что условия $f_{1}(x) \bar\vdots(x-\alpha)$ и $f(\alpha)\ne0$ являются эквивалентными по следствию теоремы Безу.

Дифференцируя $f(x)$, получаем: $$f'(x)=k\left(x-\alpha\right)^{k-1}f_{1}(x)+\left(x-\alpha\right)^kf’_{1}(x).$$ Вынося $\left(x-\alpha\right)^{k-1}$ из первого и второго слагаемого, получаем: $$f'(x)=\left(x-\alpha\right)^{k-1}(kf_{1}(x)+(x-\alpha)f’_{1}(x)),$$ при этом слагаемое $(kf_{1}(x)+(x-\alpha)f’_{1}(x)) \bar\vdots (x-\alpha)$, так как в противном случае выполнялось бы условие $f_{1}(x) \,\vdots\, (x-\alpha)$, что противоречит тому, что $\alpha$ — $k$-кратный корень многочлена $f(x)$.

Следовательно, $\alpha$ — корень кратности $k-1$ многочлена $f'(x)$ по определению кратного корня.

Достаточность. Теперь пусть $\alpha$ — корень многочлена $f(x)$ и корень кратности $k-1$ многочлена $f'(x)$. Тогда можно записать следующее: $$f(x)=(x-\alpha)f_{1}(x),$$ $$f'(x)=\left(x-\alpha\right)^{k-1}g(x),\, g(x)\bar\vdots(x-\alpha).$$

Пусть $k\geqslant2$. Тогда продифференцируем $f(x)$ и получим: $$f'(x)=f_{1}(x)+(x-\alpha)f’_{1}(x).$$ Учитывая, что $f'(x)\,\vdots\,(x-\alpha)$, то и $f_{1}(x)\,\vdots\,(x-\alpha)$, иными словами, многочлен $f_{1}(x)$ можно представить так: $$f_{1}(x)=(x-\alpha)f_{2}(x).$$ Тогда $f(x)$ представляется в следующем виде: $$f(x)=\left(x-\alpha\right)^2f_{2}(x).$$ Теперь продифференцируем $f(x)$ в очередной раз, получим: $$f'(x)=2(x-\alpha)f_{2}(x)+\left(x-\alpha\right)^2f’_{2}(x).$$

Если $k=2$, тогда $\alpha$ — простой корень $f'(x)$, значит $f'(x)\bar\vdots\left(x-\alpha\right)^2$. Получаем, что $f_{2}(x)\bar\vdots(x-\alpha)$, потому $\alpha$ — двукратный корень $f(x)$.

Если же $k\geqslant3$, то $f'(x)\,\vdots\,\left(x-\alpha\right)^2$, тогда из текущего представления $f'(x)$ видно, что $f_{2}(x)\,\vdots\,(x-\alpha)$, значит $f_{2}(x)$ можно представить в следующем виде: $$f_{2}(x)=(x-\alpha)f_{3}(x).$$ Откуда $f(x)$ представляется как: $$f(x)=\left(x-\alpha\right)^3f_{3}(x).$$

Продолжая такой процесс, получим: $$f(x)=\left(x-\alpha\right)^{k-1}f_{k-1}(x).$$ Дифференцируя $f(x)$, получаем: $$f'(x)=(k-1)\left(x-\alpha\right)^{k-2}f_{k-1}(x)+\left(x-\alpha\right)^{k-1}f’_{k-1}(x).$$ По аналогии получаем, что $f_{k-1}(x)\,\vdots\,(x-\alpha)$, откуда $$f_{k-1}(x)=(x-\alpha)f_{k}(x).$$ Тогда $f(x)$ представляется так: $$f(x)=\left(x-\alpha\right)^kf_{k}(x).$$ Дифференцируя $f(x)$ ещё раз, получаем следующее: $$f'(x)=k\left(x-\alpha\right)^{k-1}f_{k}(x)+\left(x-\alpha\right)^kf’_{k}(x).$$ Теперь, если $f_{k}(x)\,\vdots\,(x-\alpha)$, то $\alpha$ — корень $f'(x)$ кратности больше чем $k-1$, что противоречит условию. Значит $f_{k}(x) \bar\vdots(x-\alpha)$, тогда $\alpha$ — корень $f(x)$ кратности $k$, что и требовалось доказать.