Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Метка: лимит

2.1 Определение и элементарные свойства предела последовательности

Последовательность – это функция натурального аргумента. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие действительное число {xn}. Иначе последовательность обозначают так: x1,x2,…,xn,…. Число xn называется n−м элементом (или n−м членом) последовательности. Элементы последовательности считаются различными, даже если они равные, но имеют разные номера. Например, последовательность 1,1,…, у которой все xn=1. Последовательность может быть задана формулой, которая по заданному n позволяет вычислить значение xn, например, (−1)n+12. Можно задавать последовательность рекуррентно, т. е. указывать закон, по которому каждый следующий элемент вычисляется по известным предыдущим, например, арифметическая xn+1=xn+d, или геометрическая xn+1=xn⋅q прогрессии (при этом нужно определить один или несколько первых элементов). Можно задавать последовательность описанием её элементов, например, xn – n-й десятичный знак после запятой у числа π.

Определение. Число a называется пределом последовательности {xn}, если для любого ε>0 найдётся номер N, зависящий, вообще говоря, от ε, такой, что для всех номеров n≥N выполняется неравенство |xn−a|<ε. В этом случае пишут xn→a (n→∞), или limn→∞xn=a. В кванторах это определение выглядит следующим образом: limn→∞=a⟺∀ε>0∃N≡Nε:∀n≥N|xn−a|<ε.

Если последовательность имеет предел, то говорят, что она сходится. В противном случае говорят, что последовательность расходится.

Для того чтобы выяснить геометрический смысл предела последовательности, перепишем неравенство |xn−a|<ε в таком эквивалентном виде a−ε<xn<a+ε. Тогда понятно, что с геометрической точки зрения равенство limn→∞xn=a означает, что все члены последовательности, начиная с некоторого номера N(ε), зависящего от ε, находится в ε− окрестности точки a. Вне этой окрестности находится, быть может, лишь конечное число элементов, а именно, те xn, номера n которых меньше, чем N(ε).

В терминах окрестностей определение предела можно переформулировать следующим образом.

Определение. Число a называется пределом последовательности {xn}, если для любого ε− окрестности Uε(a) числа a найдётся такой номер N(ε), начиная с которого все члены последовательности принадлежат этой окрестности, т. е. ∀Uε(a)∃N:∀n≥Nxn∈Uε(a).

Пример 1.Пусть xn=a(n=1,2,…). Такая последовательность называется стационарной. Ясно, что limn→∞xn=a.

Пример 2.Пусть xn=(−1)nn. Покажем, что limn→∞(−1)nn=0. Зададим ε>0 и рассмотри неравенство |(−1)nn−0|=1n<1ε. Оно выполняется, если только n>1ε. Положим N=[1ε]+1, где [b] означает целую часть числа b. Тогда из неравенства n≥N следует, что n>1ε, а значит, |(−1)nn−0|=1n<1ε. Таким образом, мы показали по определению, что число a=0 является пределом последовательности xn.

Пример 3. Покажем, что limn→∞(√n+1−√n)=0. Зададим ε>0. Тогда получим, что неравенство |(√n+1−√n)−0|=√n+1−√n=1√n+1+√n≤1√n<ε справедливо, если только n>1ε2. Поэтому достаточно взять N=[1ε2]+1.

Замечание. При доказательстве равенства limn→∞xn=a по определению не требуется находить наименьший номер N, начиная с которого выполняется неравенство |xn−a|<ε. Достаточно лишь указать какой-нибудь номер N(ε), начиная с которого |xn−a|<ε.

Отрицание определения предела. Число a не является пределом последовательности {xn}, если найдётся такое положительное ε, что для любого N существует n≥N такое, что |xn−a|≥ε, т. е. ∃ε>0:∀N∃n≥N:|xn−a|≥ε.В этой записи число N не может зависеть от ε, а n зависит от N.

В терминах окрестностей получаем, что число a не является пределом последовательности {xn}, если найдётся такая окрестность числа a, вне которой находится бесконечно много элементов последовательности xn.

Теперь легко можем сформулировать в кванторах определение расходящейся последовательности: ∀a∃ε=ε(a)>0:∀N∃n≥N:|xn−a|≥ε.

Пример 4.Докажем, что последовательность xn=(−1)n расходится. Зададим произвольное a∈R и положим ε=12. Если a≥0, то вне окрестности (a−ε,a+ε) находятся элементы последовательности с нечётными номерами, а если a<0, то с чётными номерами. Итак, какое бы N мы ни взяли, найдётся n≥N (например, n=2N+1, если a≥0 и n=2N, если a<0), для которого справедливо неравенство |xn−a|≥ε.

Примеры решения задач

  1. Доказать исходя из определения, что число 1 является пределом последовательности {xn}=nn+1.
    Решение
  2. Пользуясь определением, найти предел последовательности {xn}=n−1n.
    Решение
  3. Доказать исходя из определения, что limn→∞2nn3+1=0.
    Решение

Литература

  1. Лысенко З.М. Конспект практики по математическому анализу
  2. Коляда В.И., Кореновский А. А. Курс лекций по математическому анализу.- Одесса : Астропринт , 2009. с. 15-17.
  3. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Дрофа, 2003. — 703 с. — с.128-130.
  4. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1962. — 607 с. — С. 37-39.

Предел последовательности

Тест на проверку усвоенного в пройденной теме.