Processing math: 100%

Локальные свойства непрерывных функций

Локальными называют такие свойства функций, которые определяются поведением функции в сколь угодно малой окрестности точки области определения.

Теорема (формулировка)

Пусть f:ER — функция, непрерывная в точке x0R тогда справедливы следующие утверждения:

  • Функция f ограничена в некоторой окрестности UE(x0).
  •  Если f(x0)0, то в некоторой окрестности UE(x0) точки x0 функция f(x)>0
    ( или f(x)<0 ) вместе с f(x0).
  •  Если функция g:UE(x0) R также непрерывна в точке x0, то следующие функции непрерывны в точке x0:
      • f+g
      • fg
      • fg

Если функция g:Y R непрерывна в точке y0Y, а функция f такова, что f:E R, f(x0)=y0, f(E)Y и f непрерывна в точке  x0, то композиция gf непрерывна в точке x0.

Пример 1

Алгебраический многочлен Pn(x)=a0xn+a1xn1++an является непрерывной функцией для xR. Это следует из теоремы 1 и непрерывности функции y=x и y=k.

Пример 2

Рациональная функция R(x)=Pn(x)Qm(x) непрерывна всюду, кроме точек, в которых Qm(x)=0.

Источники:

  1. А.М. Кытманов, Е.К. Лейнартас, О.Н. Черепанова «Математический анализ» / Сиб. федерал. ун-т. — Красноярск, 2010. — 50-53 стр. 
  2. Конспект по математическому анализу Лысенко З.М.

Непрерывная функция

Тест на тему «непрерывные функции»

Таблица лучших: Непрерывная функция

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных