мгновенная скорость

Задача о скорости

Пусть точка движется по прямой. $S=S(t)$ — путь пройденый точкой за время $t$ от начала движения. Путь пройденный точкой за время от $t$ до $t+\Delta t =$ $S(t+\Delta t) — S(t)$ .

Средняя скорость: $V_{cp}=\frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}$
Если движение точки — равномерное, то $V_{cp}$ — постоянная.
Если же движение неравномерное, то $V_{cp}$ не меняется при изменении $\Delta t$ .
Определение:
Мгновенной скоростью называют скорость точки в момент $t$ : $V(t)=\lim\limits_{\Delta t\to 0} V_{cp}=\lim\limits_{\Delta t\to 0} \frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}$ .
Задача о касательной

Пусть функция $f$ определена в $\delta$ -окрестности точки $x_0$ и непрерывна в этой окрестности.

Возьмем две точки на графике: $M_0 (x_0;y_0)$ и $M(x_0+\Delta x;f(x_0+\Delta x))$ .
Уравнение прямой, проходящей через точки $M$ и $M_0$ имеет вид $y-y_0=\frac{\Delta y}{\Delta x}(x-x_0)$ , где $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ , $\Delta x=x-x_0$ .
$\frac{\Delta y}{\Delta x}= \tan \alpha$
Эту прямую называют секущей, а число $k=\tan \alpha$ — угловым коэффициентом секущей.
$\Delta x \to 0 => \Delta y \to 0 => MM_0 = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \to 0$
Определение:
Касательной кривой заданной уравнением $y=f(x)$ в точке $x_0$ называют предельное положение секущей при $\Delta x \to 0$ .
Если существует $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = k_0$ , то существует предельное положение секущей.
Таким образом, если существует $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ , то прямая, проходящая через точку $M_0$ с угловым коэффициентом $k_0$ называется касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ .

В обеих задачах речь идет о пределе отношения приращения функции к приращению аргумента.

Задачи, которые приводят к понятию производной

Тест по теме «Задачи, которые приводят к понятию производной»

Источники:

Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Дифференциальное вычисление функций с одной переменной»).

Рекомендуемая к прочтению литература

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 1), 1962, глава 3, §1, с. 186-189

Метка: мгновенная скорость

Задачи, которые приводят к понятию производной

Задача о скорости

Задача о касательной

Задачи, которые приводят к понятию производной

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

5.

Средний результат
Ваш результат