Теорема (формула замены переменной в кратном интеграле)
Пусть отображение F:Ω→Rn, где Ω⊂Rn — открытое множество, заданное при помощи непрерывно дифференцируемых функций xi=ϕi(u1,…,un),i=1,…,n, является взаимно однозначным и удовлетворяет следующим условиям:
производные ∂ϕi∂ui ограничены в Ω;
производные ∂ϕi∂ui равномерно непрерывны в Ω;
якобианJ(u) отображения удовлетворяет при u∈Ω условию |J(u)|≥α>0.
Тогда, если G — измеримый компакт с кусочно-гладкой границей, лежащий во множестве Ω и f(x) — непрерывна на множестве G′=F(G), то справедлива следующая формула замены переменных в кратном интеграле: ∫G′f(x)dx=∫Gf(ϕ1(u),…,ϕn(u))|J(u)|du(∗),
где x=(x1,…,xn),u=(u1,…,un).
Доказательство
Для начала рассмотрим еще 2 вспомогательных свойства:
Если L⊂Ω есть непрерывно дифференцируемая кривая, то ее образ L′=F(L) есть непрерывно дифференцируемая кривая.
Если G — область и ¯G⊂Ω (где ¯G — замыкание области G), тогда ее образ G′=F(G). Образ границы Ω есть граница Ω′.
Первое свойство является простым следствием правила нахождения производной сложной функции, а второе — теоремы о неявных функциях.
Рассмотрим доказательство для плоского случая (двойных интегралов). В силу свойств непрерывных функций образ G′ компакта G при непрерывном и взаимно однозначном отображении F является компактом, а по свойствам отображения F, указанным выше, граница компакта G′ является кусочно-гладкой кривой. Кусочно-гладкая кривая имеет жорданову меру нуль, а так как ограниченное множество измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет жорданову меру нуль, то компакт G′ измерим, а оба интеграла в формуле (∗) существуют как интегралы от функций, непрерывных на компактах.
Поскольку компакт G лежит в открытом множестве Ω, то границы этих множеств не пересекаются. Так как граница любого множества замкнута и граница ограниченного множества ограничена, то расстояние между границами множеств G и Ω есть положительное число δ.
Примечание №1: под разбиением множества A далее будем подразумевать совокупность измеримых множеств {A1,…,An}, таких что A1∪…∪An=A и Ai∩Aj=⊘,i≠j. Клеткой назовем множество вида K={(x1,…,xn)|ai≤xi<bi,1≤i≤n}, прямоугольником — клетку в пространстве R2.
Пусть P есть замкнутый квадрат, содержащий компакт G. Если разбить стороны квадрата P на равные части длины h<δ (чтобы отсутствовали квадраты, содержащие одновременно элементы границ G и Ω), то и сам квадрат P окажется разбит на квадратные клетки с площадью h2. Разбиение квадрата P порождает разбиение T компакта G. Если малый квадрат со стороной h целиком лежит внутри компакта G, то он является элементом разбиения T, а если он содержит граничные точки G, то соответствующим элементом разбиения является пересечение этого квадрата с компактом G. Отображение F порождает разбиение T′ компакта G′=F(G), причем элементами разбиения T′ являются образы элементов разбиения T. При отбрасывании в интегральной сумме слагаемых, которым отвечают квадраты, имеющие непустое пересечение с множеством жордановой меры нуль, характер соответствующего предела при мелкости разбиения, стремящемся к нулю, не изменится (о чем свидетельствует соответствующая лемма, см. примечание №2). А значит, при написании интегральных сумм можно учитывать только слагаемые, соответствующие целым квадратам и их образам при отображении F, остальные квадраты будут иметь непустое пересечение с границей G. Так как отображение F равномерно непрерывно, то мелкость разбиения T′ стремится к нулю, когда стремится к нулю мелкость разбиения T.
Если малые квадраты P1,…,Pn лежат внутри компакта G, то
их образы P1′,…,P′n лежат внутри G′. Пусть (ui,vi) — координаты точки, лежащей в левом нижнем углу квадрата Pi, a (ϕ(ui,vi),ψ(ui,vi)) — образ этой точки при отображении F.
Тогда можем записать интегралы, входящие в формулу (∗) как пределы интегральных сумм: ∬G′f(x,y)dxdy=limh→0n∑i=1f(xi,yi,)m(P′i), ∬Gf(ϕ(u,v),ψ(u,v))|J(u,v)|dudv=limh→0n∑i=1f(ϕ(ui,vi),ψ(ui,vi))|J(ui,vi)|m(Pi).
Для доказательства формулы (∗) покажем, что разность этих интегральных сумм стремится к нулю при h→0. В силу леммы о геометрическом смысле модуля якобиана отображения, |m(P′i)—|J(ui,vi)|m(Pi)|≤α(h)m(Pi),limh→0α(h)=0.
Принимая во внимание, что ϕ(ui,vi)=xi,ψ(ui,vi)=yi,|f(x,y)|<M (последнее в силу того, что функция f непрерывна на компакте, а значит и ограниченна на нем), получаем оценку для разности интегральных сумм: |n∑i=1f(xi,yi)m(P′i)—n∑i=1f(ϕ(ui,vi),ψ(ui,vi))|J(ui,vi)|m(Pi)|≤n∑i=1|f(xi,yi)m(P′i)—f(xi,yi)|J(ui,vi)|m(Pi)|=n∑i=1|f(xi,yi)|m(P′i)—|J(ui,vi)|m(Pi)||≤Mn∑i=1α(h)m(Pi)=Mα(h)n∑i=1m(Pi)≤Mα(h)m(G), из которой следует, что эта разность стремится к нулю при h→0 (т.к. M и m(G) — константы). Теорема доказана.
Примечание №2: о геометрическом смысле модуля якобиана отображения можно прочитать, например, в курсе лекций по мат. анализу В.И. Коляда, А.А. Кореновский (т.2, стр. 219) или в Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа» (стр. 471). Лемма об отбрасывании слагаемых в интегральной сумме также присутствует и доказана, например, в учебнике Тер-Крикорова, стр. 458.
Замечание
Нарушение условия взаимной однозначности на множестве меры нуль и обращение якобиана отображения в
нуль на множестве меры нуль не влияют на справедливость формулы (∗) замены переменных в кратном интеграле. Такое множество E меры нуль всегда можно накрыть клеточным множеством A⊂G сколь угодно малой меры ϵ, разбивающимся на квадраты. Из доказательства теоремы следует, что при отображении F:G→Rn мера множества A возрастет не более чем в c раз, где c — фиксированное. Поэтому найдутся такие константы c1 и c2, что |∫A′f(x)dx|<c1ϵ,A′=F(A),|∫Af(ϕ1(u),…,ϕn(u))|J(u)|du|<c2ϵ,∀ϵ>0. На множестве G∖A условия теоремы выполнены, а так как интегралы ∫G′f(x)dx и ∫Gf(ϕ1(u),…,ϕn(u))|J(u)|du отличаются на сколь угодно малое число, что следует из соответствующих неравенств, то они совпадают. Данное замечание является важным, в частности, при обосновании перехода к полярным, цилиндрическим и сферическим системам координат.
Тест: формула замены переменной в кратном интеграле
Для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 2
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Нет рубрики0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 2
1.
Пусть F:Ω→Rn (Ω⊂Rn — открытое множество) — взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое отображение. Заполните пропуски в тексте.
По условию теоремы, частным производным функций, которые задают данное отображение, достаточно быть (ограниченными) и (равномерно) непрерывными на соответствующем множестве.
Задание 2 из 2
2.
Пусть F:Ω→Rn (Ω⊂Rn — открытое множество) — взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое отображение. Чему по условию теоремы не должен равняться якобиан |J(u)| при u∈Ω?
Таблица лучших: Замена переменной в кратных интегралах
Для начала определим некоторые важные понятия и рассмотрим их свойства.
Клеточное множество в Rn
Пусть задано множество A. Совокупность множеств {A1,A2,…,An} назовем разбиением множества A, если выполнены условия:
1) A=n⋃i=1Ai.
2) Множества A1,A2,…,An попарно не пересекаются.
Множество Π={(x1,…,xn):ai≤xi<bi,i=¯1,n}
будем называть клеткой в Rn. Пустое множество — тоже клетка, размер которой бесконечно мал.
Множество A∈Rn называется клеточным, если оно является объединением конечного числа попарно непересекающихся клеток.
Свойства клеточных множеств.
Свойство 1. Пересечение двух клеток есть клетка.
Спойлер
Достаточно заметить, что пересечение двух произвольных полуинтервалов является либо таким же полуинтервалом, либо пустым множеством.
[свернуть]
Свойство 2.Объединение конечного числа непересекающихся клеточных множеств является клеточным множетсвом
Спойлер
Справедливость этого свойства следует из определения клеточного множества.
[свернуть]
Свойство 3. Пересечение двух клеточных множеств есть клеточное множество.
Спойлер
Предположим, у нас есть множества A и B. Каждое из этих множеств мы можем разбить на клетки: Π1,…,Πp
Π′1,…,Π′q
Тогда множество A∩B можно разбить на клетки вида Πij=Πi∩Π′j,i=¯1,p,j=¯1,q, а , следовательно, по свойству 1, оно является клеточным.
[свернуть]
Свойство 4. Разность двух клеток есть клеточное множество.
Спойлер
Если клетка Π пересекает клетку Q: R=Π∩Q, то разность Π∖Q равна разности Π∖R, и существует разбиение клетки Π такое что R является одной из клеток разбиения. А значит, мы можем ее удалить, получив в результате клеточное множество.
[свернуть]
Свойство 5. Разность двух клеточных множеств есть клеточное множество.
Спойлер
Пусть имеется клеточное множество A. Разобьем его на клетки Π1,…,Πp. Докажем сначала, что разность клеточного множества и клетки есть клеточное множество. Пусть Q — произвольная клетка. По свойству 4 множества Ki=Πi∖Q — клеточные, и попарно непересекающиеся. Следовательно, совокупность множеств {K1,K2,…,Kp} является разбиением разности множеств A∖Q. Теперь зададим клеточное множество B, и разобьем его на клетки Π′1,…,Π′m. Тогда множество A∖B можно получить последовательным вычитанием клеток Π′1,…,Π′m из множества A, то есть оно также является клеточным.
[свернуть]
Свойство 6. Объединение конечного числа клеточных множеств есть клеточное множество
Спойлер
Докажем для случая двух множеств. Пусть A и B — клеточные множества. В силу свойств 3 и 5 A∖B,B∖A,A∩B — непересекающиеся клеточные множества. Тогда по свойству 2 их объединение будет клеточным множеством, которое, в свою очередь совпадает с A∪B
[свернуть]
Мера клеточного множества
Ребром клетки назовем любой из ее составляющих полуинтервалов [ai,bi). Мерой клетки будем называть произведение длин ее ребер: m(Π)=(b1−a1)…(bn−an)
Для одномерного случая это будет длина полуинтервала, для двумерного — площадь прямоугольника, для трехмерного — объем параллелепипеда.
Мерой клеточного множества A назовем число: m(A)=p∑i=1m(Πi),
где Π1,…,Πp — разбиение множества A.
Теперь докажем корректность определения.
Лемма 1. Мера клеточного множества не зависит от способа разбиения этого множества на клетки.
Спойлер
Легко показать, что утверждение верно для каждой отдельной клетки(доказывается прямым подсчетом). Пусть существуют два различных разбиения клеточного множества A:Π1,…,Πp и Π′1,…,Π′q. Обозначим Πij=Πi∩Πj. Понятно, что Πi=q⋃j=1Π′ij, а Π′j=p⋃i=1Πij. Тогда: p∑i=1m(Πi)=p∑i=1q∑j=1m(Πij)=q∑j=1p∑i=1m(Πij)=q∑j=1m(Π′j),
что и требовалось доказать.
[свернуть]
Свойства меры клеточных множеств
Свойство 1.Если клеточные множества A1,…,Ap попарно не пересекаются, то m(p⋃i=1Ai)=p∑i=1m(Ai)
Спойлер
Справедливость данного свойства очевидна и следует из определения меры клеточного множества.
[свернуть]
Свойство 2.Если A и B- клеточные множества и A⊂B, то m(B)=m(A)+m(B∖A),m(A)≤m(B).
Спойлер
Множества A и B∖A не пересекаются, следовательно, по свойству 1, мера множества B=A∪(B∖A) будет равна сумме их мер.
[свернуть]
Свойство 3.Если A1,…,Ap — клеточные множества, то m(p⋃i=1Ai)≤p∑i=1m(Ai)
Спойлер
Докажем по индукции. Пусть p=2. Обозначим B=A1∪A2. Тогда, поскольку A1⊂B и B∖A1⊂A2, выполняется свойство 5: m(A1∪A2)=m(B)=m(A1)+m(B∖A1)≤m(A1)+m(A2).
Пусть неравенство выполняется для p=k. Докажем для p=k+1. Обозначим A=k⋃i=1Ai. Тогда мы можем рассмотреть пересечение множеств A и Ak+1, аналогично случаю p=2, причем m(k⋃i=1Ai)≤k∑i=1m(Ai).
[свернуть]
Внутренностью клеточного множества назовем совокупность всех его внутренних точек, границей клетки — совокупность всех ее ребер.
Свойство 4.Для любого клеточного множества A и любого ε>0 существует клеточное множество Aε, такое что Aε⊂¯Aε⊂A0⊂A, где ¯Aε — замыкание множества Aε, A0 — внутренность множества Aε.
Спойлер
Докажем для одной клетки Π. Возьмем произвольную точку (x1,…,xn). Она будет принадлежать границе клетки, если существует такое i, что xi=ai или xi=bi(следует из определения клетки, где [ai,bi),i=¯1,n — ребра клетки). Сдвигая концы ребра [ai,bi) внутрь клетки, постоим клетку Πε, не содержащую граничных точек Π, мера которой будет отличаться от меры Π меньше, чем на A.
[свернуть]
Подготовив все необходимые понятия, перейдем к основной части нашей работы.
Мера Жордана
Множество Ω⊂Rn называется измеримым по Жордану, если для любого ε>0 найдутся два клеточных множества A,B, такие что A⊂Ω⊂B и m(B)−m(A)<ε.
Рис. 1. Иллюстрация к определению множества, измеримого по Жордану.
Мы видим, что supA⊂Ωm(A)≤infB⊃Ωm(B).
Числа supA⊂Ωm(A) и infB⊃Ωm(B) называются соответственно нижней и верхней мерой Жордана. Если эти меры равны, то множество m(Ω) — измеримо, а его мерой будет число m(Ω)=supA⊂Ωm(A)=infB⊃Ωm(B).
Докажем корректность определения.
Лемма 2.В определении меры измеримого по Жордану множества Ω число m(Ω) существует и единственно, причем m(A)≤m(Ω)≤m(B)
Спойлер
Пусть A и B — клеточные множества, A⊂Ω⊂B. Существование.
По свойству 2 меры клеточных множеств m(A)≤m(B). Следовательно, найдется число γ, такое что m(A)≤supA⊂Ωm(A)≤γ≤infΩ⊂Bm(A)≤m(B).
Не ограничивая общности рассуждений, возьмем m(Ω)=γ. Мы можем так сделать, исходя из определения меры, а, следовательно, число m(Ω) существует. Единственность.
Пусть существуют два числа α и β, разделяющие числовые множества, порожденные мерами клеточных множеств A и B: m(A)≤α≤β≤m(B).
Множество Ω измеримо по Жордану, поэтому для любого ε>0 найдутся клеточные множества Aε и Bε, такие что: Aε⊂Ω⊂Bε,m(Bε)−m(Aε)<ε.
Чтобы определить понятие множества меры нуль, докажем небольшую лемму.
Лемма 3.Если E⊂Rn и для любого ε>0 найдется клеточное множество B=Bε такое что E⊂B и mB<ε, то mE=0
Спойлер
Пусть A=∅, тогда A⊂E⊂B,mB−mA=mB<ε, то есть E — измеримо по Жордану. В силу произвольности ε получаем, что mE=0.
[свернуть]
Определенное таким образом множество будем называть множеством меры нуль. Такие множества обладают некоторыми важными свойствами, которые мы сейчас и рассмотрим.
Свойство 1.Объединение конечного числа множеств меры нуль есть множество меры нуль.
Спойлер
Докажем для двух множеств(для большего числа доказывается аналогично). Пусть заданы множества E1 и E2, такие что m(E1)=m(E2)=0. Тогда для любого ε>0 найдутся клеточные множества B1 и B2, такие что E1⊂B1,E2⊂B2,m(B1)<ε2,m(B2)<ε2.
Пусть B=B1∪B2. По доказанному выше B — клеточное множество, и выполняется: E1∪E2⊂B1∪B2,m(B)≤m(B1)+m(B2)<ε2+ε2=ε,
а значит, m(E1∪E2)=0.
[свернуть]
Свойство 2.Подмножество множества меры нуль есть множество меры нуль.
Спойлер
Пусть E′ и E′ — множества меры нуль. Тогда, по определению, для любого ε>0 найдется клеточное множество A, такое что E′⊂E⊂A и m(A)<ε. Тогда, по свойству 1, m(E)=0.
[свернуть]
Логично, что должны быть определенные необходимые и достаточные условия измеримости множества по Жордану. Прежде чем перейти к ним, докажем вспомогательную лемму.
Лемма 4Если связное множество A⊂Rn не имеет общих точек с границей множества B⊂Rn, то A лежит либо внутри B, либо внутри его дополнения.
Спойлер
Предположим противное. Пусть существуют две точки α и β множества A, такие что α принадлежит внутренности B, а β принадлежит внутренности B∖A. По условию множество A — связно, потому мы можем соединить эти две точки некоторой кривой Γ. Разобьем точки кривой на два класса: точка γ принадлежит первому классу, если дуга кривой Γ с концами α и β лежит в множестве B. Второму классу будут принадлежать все остальные точки кривой. Тогда, согласно теореме об отделимости, мы можем разделить эти 2 класса некоторой точкой e, которая не принадлежит ни внутренности B, ни внутренности B∖A. Тогда точка e является граничной для множества B, но по условию она принадлежит множеству A. Получаем противоречие.
[свернуть]
И, наконец, докажем критерий.
Теорема(критерий измеримости множества в Rn).Множество Ω⊂Rn будет измеримым по Жордану тогда и только тогда, когда оно ограниченно, а его граница ∂Ω имеет жорданову меру нуль.
Спойлер
Необходимость
Пусть Ω⊂Rn — измеримое по Жордану множество. Это значит, что для любого ε>0 найдутся клеточные множества A и B, такие что A⊂Ω⊂B и m(B)−m(A)<ε. Не ограничивая общности рассуждений, согласно свойству 4 меры клеточных множеств, считаем, что множество A не содержит граничных точек Ω, а множество B содержит все такие точки. Тогда ∂Ω⊂B∖A и m(B∖A)<ε, следовательно, по лемме 3, множество ∂Ω имеет жорданову меру нуль. Достаточность
Пусть m(∂Ω) и Ω — ограниченное множество в Rn. Заключим множество Ω в клетку Π. Теперь возьмем произвольное ε>0 и построим клеточное множество C, такое что ∂Ω⊂C и m(C)<ε. Тогда Π∖C — клеточное множество, не содержащее граничных точек множества Ω. Пусть Π∖C=N⋃i=1Πi. Так как клетка Πi не содержит граничных точек множества Ω, то в силу леммы 4 Πi∩Ω=∅ или Πi⊂Ω. Занумеруем клетки Πi в таком порядке, что Π1,…,Πl⊂Ω, а Πl+1,…,ΠN∩Ω=∅. Обозначим A=l⋃i=1Πi и B=A∪C=Π∖(N⋃i=l+1Πi), тогда A⊂Ω⊂B и m(B)−m(A)=m(C)<ε, то есть множество Ω измеримо по Жордану.
[свернуть]
Свойства множеств, измеримых по Жордану
Свойство 1.Если множества Ω1 и Ω2 измеримы по Жордану, то множества Ω1∩Ω2, Ω1∖Ω2, и Ω1∪Ω2 также измеримы по Жордану.
Спойлер
Измеримые по Жордану множества Ω1 и Ω2 ограничены, следовательно, по доказанному выше критерию меры их границ равны нулю. Тогда мера их пересечения также будет равной нулю. Но мы знаем, что ∂(Ω1∩Ω2)⊂∂Ω1∪∂Ω2,∂(Ω1∖Ω2)⊂∂Ω1∪∂Ω2,∂(Ω1∪Ω2)⊂∂Ω1∪∂Ω2, поэтому m(∂(Ω1∩Ω2))=m(∂(Ω1∖Ω2))=m(∂(Ω1∪Ω2)).
В силу критерия множества множества Ω1∩Ω2, Ω1∖Ω2 и Ω1∪Ω2 измеримы по Жордану.
[свернуть]
Свойство 2.Если множества Ωi,i=¯1,n измеримы по Жордану, то и множествo n⋃i=1Ωi измеримо по Жордану, и m(n⋃i=1Ωi)≤n∑i=1m(Ωi).
Если множества Ωi,i=¯1,n попарно не пересекаются, то m(n⋃i=1Ωi)=n∑i=1m(Ωi).
Спойлер
Рассмотрим случай n=2. Если Ω1 и Ω2 – измеримые по Жордану множества, то в силу свойства 1 множество Ω1∪Ω2 измеримо по Жордану. Из леммы 2 следует, что для любого ε>0 найдутся клеточные множества B1 и B2 такие что: Ω1⊂B1,Ω1⊂B1,m(Ω1)>m(B1)−ε2,m(Ω2)>m(B2)−ε2.
Тогда B1∪B2 есть клеточное множество, содержащее множество Ω1∪Ω2. Используя свойство 3 клеточных множеств, получаем, что: m(Ω1∪Ω2)≤m(B1∪B2)≤m(B1)+m(B2)≤m(Ω1)+m(Ω2)+ε.
В силу произвольности ε: m(Ω1∪Ω2)≤m(Ω1)+m(Ω2) Пусть Ω1∩Ω2=∅. В силу леммы 2 найдутся клеточные множества A1 и A2, такие что A1⊂Ω1,m(A1)>m(Ω1)−ε2,A2⊂Ω2,m(A2)>m(Ω2)−ε2.
Тогда A1∪A2есть клеточное множество, содержащееся в множестве Ω1∪Ω2. Так как множества A1 и A2 не пересекаются, то m(Ω1∪Ω2)≥m(A1∪A2)=m(A1)+m(A2)>m(Ω1)+m(Ω2)−ε,
Число ε мы брали произвольно, следовательно, m(Ω1∪Ω2)≥m(Ω1)+m(Ω2).
Мы видим, что мера объединения непересекающихся множеств Ω1 и Ω2 одновременно не превосходит и больше либо равна сумме их мер. А такое возможно, только если m(Ω1∪Ω2)=m(Ω1)+m(Ω2).
Применяя метод математической индукции, можно доказать исходное неравенство, а также случай равенства для любого n∈N. Свойство доказано.
[свернуть]
Пример
Спойлер
Множество A={x∈R∣x∈[0,1]} измеримо по Жордану, так как само по себе является клеточным. А множество рациональных чисел на том же отрезке A′={x∈Q∣x∈[0,1]} не измеримо, и мы можем легко это показать. Действительно, отрезке [0,1] не существует подотрезка, заполненного только рациональными числами, то есть внутренняя мера Жордана множества A′ равна 0. С другой стороны, на всей числовой прямой мы не найдем отрезка, содержащего [0,1] и заполненного рациональными числами. Это значит, что внешняя мера множества A′ равна 1. Мы видим, что верхняя и нижняя меры Жордана совпадают, а значит, по определению, множество A′ не является измеримым по Жордану.
[свернуть]
Использованная литература:
Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З.М.