Формула замены переменной в кратном интеграле

Теорема (формула замены переменной в кратном интеграле)

Пусть отображение F:ΩRn, где ΩRn — открытое множество, заданное при помощи непрерывно дифференцируемых функций xi=ϕi(u1,,un),i=1,,n, является взаимно однозначным и удовлетворяет следующим условиям:

  1. производные ϕiui ограничены в Ω;
  2. производные ϕiui равномерно непрерывны в Ω;
  3. якобиан J(u) отображения удовлетворяет при uΩ условию |J(u)|α>0.

Тогда, если G — измеримый компакт с кусочно-гладкой границей, лежащий во множестве Ω и f(x) — непрерывна на множестве G=F(G), то справедлива следующая формула замены переменных в кратном интеграле:
Gf(x)dx=Gf(ϕ1(u),,ϕn(u))|J(u)|du(),


где x=(x1,,xn),u=(u1,,un).

Доказательство

Для начала рассмотрим еще 2 вспомогательных свойства:

  1. Если LΩ есть непрерывно дифференцируемая кривая, то ее образ L=F(L) есть непрерывно дифференцируемая кривая.
  2. Если G — область и ¯GΩ (где ¯G — замыкание области G), тогда ее образ G=F(G). Образ границы Ω есть граница Ω.

Первое свойство является простым следствием правила нахождения производной сложной функции, а второе — теоремы о неявных функциях.

Рассмотрим доказательство для плоского случая (двойных интегралов). В силу свойств непрерывных функций образ G компакта G при непрерывном и взаимно однозначном отображении F является компактом, а по свойствам отображения F, указанным выше, граница компакта G является кусочно-гладкой кривой. Кусочно-гладкая кривая имеет жорданову меру нуль, а так как ограниченное множество измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет жорданову меру нуль, то компакт G измерим, а оба интеграла в формуле () существуют как интегралы от функций, непрерывных на компактах.

Поскольку компакт G лежит в открытом множестве Ω, то границы этих множеств не пересекаются. Так как граница любого множества замкнута и граница ограниченного множества ограничена, то расстояние между границами множеств G и Ω есть положительное число δ.

Примечание №1: под разбиением множества A далее будем подразумевать совокупность измеримых множеств {A1,,An}, таких что A1An=A и AiAj=,ij. Клеткой назовем множество вида K={(x1,,xn)|aixi<bi,1in}, прямоугольником — клетку в пространстве R2.

Пусть P есть замкнутый квадрат, содержащий компакт G. Если разбить стороны квадрата P на равные части длины h<δ (чтобы отсутствовали квадраты, содержащие одновременно элементы границ G и Ω), то и сам квадрат P окажется разбит на квадратные клетки с площадью h2. Разбиение квадрата P порождает разбиение T компакта G. Если малый квадрат со стороной h целиком лежит внутри компакта G, то он является элементом разбиения T, а если он содержит граничные точки G, то соответствующим элементом разбиения является пересечение этого квадрата с компактом G. Отображение F порождает разбиение T компакта G=F(G), причем элементами разбиения T являются образы элементов разбиения T. При отбрасывании в интегральной сумме слагаемых, которым отвечают квадраты, имеющие непустое пересечение с множеством жордановой меры нуль, характер соответствующего предела при мелкости разбиения, стремящемся к нулю, не изменится (о чем свидетельствует соответствующая лемма, см. примечание №2). А значит, при написании интегральных сумм можно учитывать только слагаемые, соответствующие целым квадратам и их образам при отображении F, остальные квадраты будут иметь непустое пересечение с границей G. Так как отображение F равномерно непрерывно, то мелкость разбиения T стремится к нулю, когда стремится к нулю мелкость разбиения T.

Если малые квадраты P1,,Pn лежат внутри компакта G, то
их образы P1,,Pn лежат внутри G. Пусть (ui,vi) — координаты точки, лежащей в левом нижнем углу квадрата Pi, a (ϕ(ui,vi),ψ(ui,vi)) — образ этой точки при отображении F.

Тогда можем записать интегралы, входящие в формулу () как пределы интегральных сумм:
Gf(x,y)dxdy=limh0ni=1f(xi,yi,)m(Pi),
Gf(ϕ(u,v),ψ(u,v))|J(u,v)|dudv= limh0ni=1f(ϕ(ui,vi),ψ(ui,vi))|J(ui,vi)|m(Pi).

Для доказательства формулы () покажем, что разность этих интегральных сумм стремится к нулю при h0. В силу леммы о геометрическом смысле модуля якобиана отображения,
|m(Pi)|J(ui,vi)|m(Pi)|α(h)m(Pi),limh0α(h)=0.
Принимая во внимание, что ϕ(ui,vi)=xi,ψ(ui,vi)=yi,|f(x,y)|<M (последнее в силу того, что функция f непрерывна на компакте, а значит и ограниченна на нем), получаем оценку для разности интегральных сумм:
|ni=1f(xi,yi)m(Pi)ni=1f(ϕ(ui,vi),ψ(ui,vi))|J(ui,vi)|m(Pi)| ni=1|f(xi,yi)m(Pi)f(xi,yi)|J(ui,vi)|m(Pi)|= ni=1|f(xi,yi)|m(Pi)|J(ui,vi)|m(Pi)|| Mni=1α(h)m(Pi)= Mα(h)ni=1m(Pi) Mα(h)m(G), из которой следует, что эта разность стремится к нулю при h0 (т.к. M и m(G) — константы). Теорема доказана.

Примечание №2: о геометрическом смысле модуля якобиана отображения можно прочитать, например, в курсе лекций по мат. анализу В.И. Коляда, А.А. Кореновский (т.2, стр. 219) или в Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа» (стр. 471). Лемма об отбрасывании слагаемых в интегральной сумме также присутствует и доказана, например, в учебнике Тер-Крикорова, стр. 458.

Замечание

Примеры

Основными примерами использования данной формулы являются переход к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам для вычисления двойных и тройных интегралов.

Тест: формула замены переменной в кратном интеграле

Для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме.


Таблица лучших: Замена переменной в кратных интегралах

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Мера Жордана в n-мерном пространстве

Для начала определим некоторые важные понятия и рассмотрим их свойства.

Клеточное множество в Rn

Пусть задано множество A. Совокупность множеств {A1,A2,,An} назовем разбиением множества A, если выполнены условия:
1) A=ni=1Ai.
2) Множества A1,A2,,An попарно не пересекаются.
Множество
Π={(x1,,xn):aixi<bi,i=¯1,n}


будем называть клеткой в Rn. Пустое множество — тоже клетка, размер которой бесконечно мал.
Множество ARn называется клеточным, если оно является объединением конечного числа попарно непересекающихся клеток.

Свойства клеточных множеств.

Свойство 1. Пересечение двух клеток есть клетка.

Спойлер

Свойство 2. Объединение конечного числа непересекающихся клеточных множеств является клеточным множетсвом

Спойлер

Свойство 3. Пересечение двух клеточных множеств есть клеточное множество.

Спойлер

Свойство 4. Разность двух клеток есть клеточное множество.

Спойлер

Свойство 5. Разность двух клеточных множеств есть клеточное множество.

Спойлер

Свойство 6. Объединение конечного числа клеточных множеств есть клеточное множество

Спойлер

Мера клеточного множества

Ребром клетки назовем любой из ее составляющих полуинтервалов [ai,bi).
Мерой клетки будем называть произведение длин ее ребер: m(Π)=(b1a1)(bnan)

Для одномерного случая это будет длина полуинтервала, для двумерного — площадь прямоугольника, для трехмерного — объем параллелепипеда.
Мерой клеточного множества A назовем число:
m(A)=pi=1m(Πi),

где Π1,,Πp — разбиение множества A.
Теперь докажем корректность определения.

Лемма 1. Мера клеточного множества не зависит от способа разбиения этого множества на клетки.

Спойлер

Свойства меры клеточных множеств

Свойство 1. Если клеточные множества A1,,Ap попарно не пересекаются, то
m(pi=1Ai)=pi=1m(Ai)



Спойлер

Свойство 2. Если A и B- клеточные множества и AB, то
m(B)=m(A)+m(BA),m(A)m(B).



Спойлер

Свойство 3. Если A1,,Ap — клеточные множества, то
m(pi=1Ai)pi=1m(Ai)



Спойлер

Внутренностью клеточного множества назовем совокупность всех его внутренних точек, границей клетки — совокупность всех ее ребер.

Свойство 4. Для любого клеточного множества A и любого ε>0 существует клеточное множество Aε, такое что Aε¯AεA0A, где ¯Aε — замыкание множества Aε, A0 — внутренность множества Aε.

Спойлер

Подготовив все необходимые понятия, перейдем к основной части нашей работы.

Мера Жордана

Множество ΩRn называется измеримым по Жордану, если для любого ε>0 найдутся два клеточных множества A,B, такие что AΩB и m(B)m(A)<ε.

method-draw-image
Рис. 1. Иллюстрация к определению множества, измеримого по Жордану.

Мы видим, что supAΩm(A)infBΩm(B).


Числа supAΩm(A) и infBΩm(B) называются соответственно нижней и верхней мерой Жордана. Если эти меры равны, то множество m(Ω) — измеримо, а его мерой будет число m(Ω)=supAΩm(A)=infBΩm(B).
Докажем корректность определения.

Лемма 2. В определении меры измеримого по Жордану множества Ω число m(Ω) существует и единственно, причем
m(A)m(Ω)m(B)



Спойлер

Рассмотрим еще один важный случай.

Множества жордановой меры нуль

Чтобы определить понятие множества меры нуль, докажем небольшую лемму.

Лемма 3. Если ERn и для любого ε>0 найдется клеточное множество B=Bε такое что EB и mB<ε, то mE=0

Спойлер

Определенное таким образом множество будем называть множеством меры нуль. Такие множества обладают некоторыми важными свойствами, которые мы сейчас и рассмотрим.

Свойство 1. Объединение конечного числа множеств меры нуль есть множество меры нуль.

Спойлер

Свойство 2. Подмножество множества меры нуль есть множество меры нуль.

Спойлер

Логично, что должны быть определенные необходимые и достаточные условия измеримости множества по Жордану. Прежде чем перейти к ним, докажем вспомогательную лемму.

Лемма 4 Если связное множество ARn не имеет общих точек с границей множества BRn, то A лежит либо внутри B, либо внутри его дополнения.

Спойлер

И, наконец, докажем критерий.

Теорема(критерий измеримости множества в Rn). Множество ΩRn будет измеримым по Жордану тогда и только тогда, когда оно ограниченно, а его граница Ω имеет жорданову меру нуль.

Спойлер

Свойства множеств, измеримых по Жордану

Свойство 1. Если множества Ω1 и Ω2 измеримы по Жордану, то множества Ω1Ω2, Ω1Ω2, и Ω1Ω2 также измеримы по Жордану.

Спойлер

Свойство 2. Если множества Ωi,i=¯1,n измеримы по Жордану, то и множествo ni=1Ωi измеримо по Жордану, и
m(ni=1Ωi)ni=1m(Ωi).


Если множества Ωi,i=¯1,n попарно не пересекаются, то
m(ni=1Ωi)=ni=1m(Ωi).


Спойлер

Пример

Спойлер

Использованная литература:

Дополнительная литература:

Тест "Мера Жордана"

Пройдите небольшой тест, чтобы закрепить ваши знания.

Таблица лучших: Тест "Мера Жордана"

максимум из 9 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных