метод исключения переменных

Определение. Метод Гаусса — метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он заключается в решении системы уравнений, приведением её к ступенчатому виду, путем исключения неизвестных. В отличии от метода Крамера и матричного метода, метод немецкого математика подходит для системы уравнений с бесконечным количеством решений.

Метод Гаусса построен на элементарных преобразованиях СЛАУ.

Определение. Элементарные преобразования системы линейных уравнений это операции, с помощью которых получаем линейно эквивалентную исходной систему уравнений. Такие как: умножение уравнений на отличное от нуля число, перестановку уравнений местами и прибавление к одному уравнению другое.

Определение. Две системы называются эквивалентными, если уравнения одной системы являются линейной комбинацией уравнений другой. Также они имеют одинаковые решения или обе решений не имеют.

Алгоритм решения методом Гаусса заключается в следующих действиях:

Допустим, нам дана СЛАУ из $k$ уравнений с $n$ неизвестными Сначала исключим неизвестное $x_1$ из уравнений ниже первого. Предположим $a_{11} \ne 0$ (в обратном случае — можно записать первым уравнение с коэффициентом при $x_1$ , отличным от нуля). Теперь умножим обе части первого уравнения системы на $\frac{a_{21}}{a_{11}}$ и вычтем его из второго уравнения, затем обе части первого уравнения умножим на $\frac{a_{31}}{a_{11}}$ и вычтем из третьего и так пока не исключим во всех уравнениях ниже первого переменную $x_1$ (то есть пока коэффициенты при $x_1$ не будут равны нулю). Получаем эквивалентную системе (1) систему: Далее делаем аналогичные действия со СЛАУ (2) (исключаем неизвестное $x_2$ ), но с уравнениями ниже второго при $a_{22} \ne 0$ . Получим следующую эквивалентную системе (2) (значит и системе (1)) систему: $\begin{equation}\left\{\begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_{n}=b_1,\\ \bar a_{22}x_2+\bar a_{23}x_3+\ldots+\bar a_{2n}x_{n}=\bar b_2,\\ \tilde a_{33}x_3+\ldots+\tilde a_{3n}x_{n}=\tilde b_3,\\ \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\ \tilde a_{k3}x_3+\ldots+\tilde a_{kn}x_n=\tilde b_k.\\ \end{aligned}\right. \end{equation}$ Все эти действия нужно сделать, пока не получим систему ступенчатого вида.
Второй этап решения системы уравнений заключается в решении полученной нами системы ступенчатого вида. Количество уравнений в преобразованной системе может быть меньше, чем в изначальной. Получаем систему с $t (t\leqslant k)$ уравнениями и $n$ переменными. Выражаем через последнее уравнение неизвестную переменную $x_t$ . И через неё выражаем остальные переменные. Получим решение, которое содержит зависимые (слева) и свободные (справа) переменные: $\begin{equation}\left\{\begin{aligned} x_t=c_{tt+1}x_{t+1}+a_{tt+2}x_{t+2}+\ldots+c_{tn}x_{n,}\\ \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\ x_3=c_{3t+1}x_{t+1}+a_{3t+2}x_{t+2}+\ldots+c_{3n}x_{n},\\ x_2=c_{2t+1}x_{t+1}+a_{2t+2}x_{t+2}+\ldots+c_{2n}x_{n},\\ x_1=c_{1t+1}x_{t+1}+a_{1t+2}x_{t+2}+\ldots+c_{1n}x_{n}.\\ \end{aligned}\right. \end{equation}$ Для получения решения, в свободные переменные $x_{t+1} \ldots x_n$ мы подставляем произвольные значения в систему уравнений. Из чего находим зависимые переменные $x_1 \ldots x_t$ .

Замечания

Если система уравнений получается треугольной (или же количество уравнений равно количеству переменных), то решение у этой системы одно (система называется определенной). Если система имеет несколько ответов, то система называется неопределенной.
Система есть несовместная, если она не имеет решений. Это можно понять по тому, если преобразованная нами система имеет уравнений больше, чем переменных (или мы можем получить уравнение, в котором все коэффициенты равны нулю, но свободный член отличен от нуля). В обратном случае — эта система совместная.
Обычно выполняют преобразования не с самой системой, а с матрицей системы: выписывают матрицу из коэффициентов системы с присоединенным к ней столбцом из свободных членов. Тогда стоит заметить, что такие элементарные преобразования можно выполнять только с матрицами системы. С обычными матрицами, которые просто даны в условии, так делать запрещается.
При вычитании одной строки из другой меняется только та строка, от которой отнимают. Аналогично и со сложением: меняется та строка, к которой прибавляют.
Если в ходе преобразований мы получаем нулевую строку (все коэффициенты и свободный член будут равны 0), то такую строку можно убрать.

Примеры решений

Решить систему уравнений методом Гаусса: $\begin{equation}\left\{\begin{aligned} 3x_1-2x_2-5x_3+x_4=3,\\ 2x_1-3x_2+x_3+5x_4=-3,\\ x_1+2x_2-4x_4=-3,\\ x_1-x_2-4x_3+9x_4=22.\end{aligned}\right. \end{equation}$

Запишем матрицу из коэффициентов системы уравнений и преобразуем (если переменной нет в уравнении, то коэффициент равен нулю) $\left(\left.\begin{array}{rrrr}3 & -2 & -5 & 1 \\ 2 & -3 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 0 & -4 \\ 1 & -1 & -4 & 9\end{array}\right|\begin{array}{r}3 \\ -3 \\ -3 \\ 22 \end{array}\right).$ Поменяем местами первое уравнение с последним для удобства вычислений: $\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9\\ 2 & -3 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 0 & -4\\ 3 & -2 & -5 & 1 \end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -3 \\ -3 \\ 3 \end{array}\right).$ Умножим теперь первое уравнение на 2 и вычтем из второго уравнения. Затем, умножив на 1, вычтем из третьего. И умножив на 3, вычтем из четвертого. Получаем: $\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9 \\ 0 & -1 & 9 & -13 \\ 0 & 3 & 4 & -13 \\ 0 & 1 & 7 & -26\end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -47 \\ -25 \\ -63 \end{array}\right).$ Далее умножаем второе уравнение на -3, затем вычтем из третьего. Теперь второе уравнение умножаем на -1 из четвертого: $\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9 \\ 0 & -1 & 9 & -13 \\ 0 & 0 & 31 & -52 \\ 0 & 0 & 16 & -39\end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -47 \\ -166 \\ -110 \end{array}\right).$ Итак, последние действия прямого хода. Умножаем третье уравнение на $-\frac{16}{31}$ и вычитаем из четвертого. Получаем: $\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9 \\ 0 & -1 & 9 & -13 \\ 0 & 0 & 31 & -52 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{377}{31}\end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -47 \\ -166 \\ -\frac{754}{31} \end{array}\right).$ Получаем систему уравнений с новыми коэффициентами, которую будем решать обратным ходом: $\begin{equation}\left\{ \begin{aligned} x_1-x_2-4x_3+9x_4=22,\\ -x_2+9x_3-13x_4=-47,\\ 31x_3-52x_4=-166,\\ -\frac{377}{31}x_4=-\frac{754}{31}. \end{aligned}\right. \end{equation}$ Решение получается одно. Находим его: $x_4=2,\\ x_3=\frac{-166+104}{31}=-2,\\ x_2=-(-47+18+26)=3,\\ x_1=22+3-8-18=-1.$

Решить систему уравнений методом Гаусса: $\begin{equation}\left\{ \begin{aligned} 4x_1-3x_2+x_3+5x_4-7=0,\\ x_1-2x_2-2x_3-3x_4-3=0,\\ 3x_1-x_2+2x_3+1=0,\\ 2x_1+3x_2+2x_3-8x_4+7=0. \end{aligned}\right. \end{equation}$

Решение

Сначала перенесем все свободные члены вправо и выпишем расширенную матрицу. Преобразуем её: $\left(\left.\begin{array}{rrrr}4 & -3 & 1 & 5\\ 1 & -2 &-2 & -3\\ 3 & -1 & 2 & 0\\ 2 & 3 & 2 & -8\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\3\\-1\\-7\end{array}\right).$ Поменяем местами первую строку со второй: $\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\ 4 & -3 & 1 & 5\\ 3 & -1 & 2 & 0\\ 2 & 3 & 2 & -8\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\7\\-1\\-7\end{array}\right)\sim~$ $\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\ 0 & 5 & 9 & 17\\ 0 & 5 & 8 & 9\\ 0 & 7 & 6 & -2\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\-5\\-10\\-13\end{array}\right)\sim~$ $\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\ 0 & 5 & 9 & 17\\ 0 & 0 & -1 & -8\\ 0 & 0 & -\frac{33}{5} & -\frac{129}{5}\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\-5\\-5\\20\end{array}\right)\sim~$ $\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\ 0 & 5 & 9 & 17\\0 & 0 & -1 & -8\\ 0 & 0 & 0 & 27\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\-5\\-5\\27\end{array}\right).$ Получаем ответ: $x_4=1,$ $x_3=-3,$ $x_2=1,$ $x_1=2.$

[свернуть]

Решить систему уравнений методом Гаусса: $\begin{equation}\left\{ \begin{aligned} 3x_1-7x_2+4x_3+5x_4=-11,\\ 2x_1+5x_2+x_3-2x_4=5,\\ x_1+2x_2-3x_3+4x_4=7,\\ 7x_1+2x_2-x_3+11x_4=6. \end{aligned}\right. \end{equation}$

Решение

Записываем матрицу системы и преобразуем её: $\left(\left .\begin{array}{rrrr}3 & -7 & 4 & 5\\ 2 & 5 & 1 & -2\\ 1 & 2 & -3 & 4\\ 7 & 2 & -1 & 11\end{array}\right|\begin{array}{r}-11\\5\\7\\6\end{array}\right)\sim~$ $\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\ 2 & 5 & 1 & -2\\ 3 & -7 & 4 & 5\\ 7 & 2 & -1 & 11\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\5\\-11\\6\end{array}\right)\sim~$ $\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\ 0 & 1 & 7 & -10\\ 0 & -13 & 13 &-7\\ 0 & -12 & 20 & -17\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\-9\\-32\\-43\end{array}\right)\sim~$ $\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\0 & 1 & 7 & -10\\ 0 & 0 & 104 & -137\\ 0 & 0 & 104 & -137\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\-9\\-149\\-151\end{array}\right)\sim~$ $\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\ 0 & 1 & 7 & -10\\ 0 & 0 & 104 & -137\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\-9\\-149\\-2\end{array}\right).$ Видим, что у нас получилось уравнение с нулевыми коэффициентами при ненулевом свободном члене, значит тут мы можем уже остановиться — система несовместна, то есть решений не имеет.

[свернуть]

Решите систему уравнений методом Гаусса: $\begin{equation}\left\{\begin{aligned}7x_1+3x_2-2x_3+4x_4=0,\\ -6x_1-x_2-x_3+x_4=1,\\ 9x_1+7x_2-8x_3+14x_4=2,\\ x_1+2x_2-3x_3+5x_4=1.\end{aligned}\right.\end{equation}$

Решение

Записываем матрицу системы уравнений и преобразуем: $\left(\left.\begin{array}{rrrr}7 & 3 & -2 & 4\\ -6 & -1 & -1 &1 \\ 9 & 7 & 8 & 14 \\ 1 & 2 & -3 & 5\end{array}\right|\begin{array}{r}0\\1\\2\\1\end{array}\right)\sim~$ $\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 5\\ -6 & -1 & -1 &1 \\ 9 & 7 & 8 & 14 \\ 7 & 3 & -2 & 4\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\1\\2\\0\end{array}\right)\sim~$ $\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 5\\ 0 & 11 & -19 & 31\\ 0 & -11 & 35 & -31\\ 0 & -11 & 19 &-31\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\7\\-7\\-7\end{array}\right)\sim~$ $\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 5\\ 0 & 11 & -19 & 31\\ 0 & 0 & 16 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\7\\0\\0\end{array}\right)$ Видим, что у нас появилась нулевая строка. Это значит, что это уравнение можно убрать. Так как мы получили систему, в которой количество уравнений меньше, чем количество переменных, значит система неопределённая, то есть имеет бесконечное множество решений. Количество зависимых переменных определяем по рангу матрицы. У нас получается 3 зависимых переменных. Возьмем $x_4$ за свободную переменную. Выражаем остальные 3 переменные через свободную и получаем общее решение: $x_3=0$ $x_2=\frac{7-31x_4}{11}$ $x_1=1-2\times\frac{7-31x_4}{11}-5x_4.$ Теперь можем подставить любое значение в переменную $x_4$ и получить один из бесконечного множества ответов, например: $x_4=0,$ $x_3=0,$ $x_2=\frac{7}{11},$ $x_1=-\frac{3}{11}.$

[свернуть]

Решить систему уравнений методом Гаусса: $\begin{equation}\left\{ \begin{aligned} 2x_1-x_2+2x_4=0,\\ x_1+2x_2-x_3=0,\\ 5x_1+x_2-x_3+2x_4=0,\\ x_1+x_2+x_3+x_4=1. \end{aligned}\right. \end{equation}$

Решение

Запишем матрицу системы: $\left(\left.\begin{array}{rrrr}2 & -1 &0 &2\\ 1 & 2 &-1 & 0\\ 5 & 1 &-1 & 2\\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|\begin{array}{r}0\\0\\0\\1\end{array}\right)\sim~$ $\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & -1 & 0\\ 5 & 1 & -1 & 2\\ 2 & -1 & 0 & 2\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\0\\0\\0\end{array}\right)\sim~$ $\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 &1\\ 0 & 1 & -2 & -1\\ 0 & -4 & -6 & -3\\ 0 & -3 & -2 & 0\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\-1\\-5\\-2\end{array}\right)\sim~$ $\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -2 & -1\\ 0 & 0 & -14 & -7\\ 0 & 0 & -8 & -3\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\-1\\-9\\-5\end{array}\right)\sim~$ $\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -2 & -1\\ 0 & 0 & -14 & -7\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\-1\\-9\\\frac{1}{7}\end{array}\right).$ Получаем ответ: $x_4=\frac{1}{7},$ $x_3=\frac{4}{7},$ $x_2=\frac{2}{7},$ $x_1=0.$

[свернуть]

Смотрите также

Метод Гаусса

Пройдите тест, чтобы проверить насколько точно вы поняли материал.

Задание 1 из 7

1.
Количество баллов: 1
Смотря на преобразованную нами матрицу системы ступенчатого вида, как можно понять, когда система уравнений будет иметь только одно решение?
- Когда полученная нами матрица имеет треугольный вид.
- Когда полученная нами матрица имеет трапециевидный вид.
- Система всегда имеет бесконечно много решений.
- Система всегда имеет одно решение.
Правильно 1 / 1Баллы

Все правильно, молодец!

Неправильно / 1 Баллы

Нет, система уравнений имеет одно решение, когда преобразованная матрица из коэффициентов этой системы имеет треугольный вид ( последнее уравнение имеет одну переменную).
Задание 2 из 7

2.
Количество баллов: 1
Элементарными преобразованиями СЛАУ считаются:
- Умножение обоих частей уравнения на любое число
- Перестановка уравнений
- Прибавление одного уравнения к другому
- Умножение уравнений друг на друга
- Исключение уравнения из системы, если коэффициенты и свободные члены отличные от нуля
Правильно

Отлично, молодец.
Неправильно

Элементарным преобразованиями считаются:
- перестановка уравнений
- умножение строчки на ненулевое число
- сложение или вычитание строчек
Задание 3 из 7

3.
Количество баллов: 2
Решите систему уравнений: $\begin{equation}\left\{ \begin{aligned} 8x_1+7x_2+3x_3=18,\\7x_1+4x_2+4x_3=11,\\-6x_1+5x_2-4x_3=-15. \end{aligned}\right. \end{equation}$
(Записать ответы через пробел, начиная с $x_1$ )
Правильно

Умничка!

Неправильно

Попробуйте решить еще раз. Самое главное — это практика. Или проверьте, что между числами стоит один проблел.

Задание 4 из 7

4.

Количество баллов: 4

Установите соответствие между системами уравнений и её ответами

Элементы сортировки

$x_1=-1, x_2=3, x_3=1$
$x_1=4, x_2=0, x_3=-1$
Ответов нет.
Система имеет бесконечное множество решений.
$x_1 = 0, x_2 = 3, x_3 = 1$

$\begin{equation}\left\{ \begin{aligned} 4x_1+2x_2-x_3=1,\\ 5x_1+3x_2-2x_3=2,\\ 3x_1+2x_2-3x_3=0. \end{aligned}\right. \end{equation}$

$\begin{equation}\left\{ \begin{aligned} x_1+2x_2+3x_3=1,\\ 2x_1-x_2+2x_3=6,\\ x_1+x_2+5x_3=-1. \end{aligned}\right. \end{equation}$

$\begin{equation}\left\{ \begin{aligned} 7x_1-2x_2-x_3=2,\\ 6x_1-4x_2-5x_3=3,\\ x_1+2x_2+4x_3=5. \end{aligned}\right. \end{equation}$

$\begin{equation}\left\{ \begin{aligned} 3x_1-2x_2+3x_3=5,\\ x_1-5x_2+2x_3=2,\\ 2x_1+3x_2+x_3=0. \end{aligned}\right. \end{equation}$

Задание 5 из 7

5.
Количество баллов: 1
Расставьте значения неизвестных переменных из системы уравнений по порядку возрастания:

$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}x_1-2x_2+x_3=0,\\ 2x_1+2x_2-x_3=3,\\ 4x_1-x_2+x_3=5\end{aligned}\right.\end{equation}$
- $x_1$
- $x_2$
- $x_3$
Правильно

Неправильно
Задание 6 из 7

6.
Количество баллов: 2
Дополните предложение.
- Система линейных уравнений, у которой нет решений, называется .
Правильно

Неправильно
Задание 7 из 7

7.
Количество баллов: 2
Дополните предложение.
- Система линейных уравнений, которая имеет только одно решение, называется .
Правильно

Неправильно

Метка: метод исключения переменных

Метод Гаусса

Примеры решений

Смотрите также

Навигация (только номера заданий)

Информация

Метод Гаусса

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

5.

6.

7.

Средний результат
Ваш результат