Метка: непрерывность интеграла с переменным верхним пределом

Пусть $latex x_{0}, x_{0} + \Delta x \in [a,b]$. Тогда

$latex F(x_{0}+ \Delta x) — F(x_{0}) = \int_{a}^{x_{0}+\Delta x} f(t)dt — \int_{a}^{x_{0}} f(t)dt = \int_{x_{0}}^{x_{0}+ \Delta x} f(t)dt$

Функция $latex f$ ограничена на $latex [a,b]$ (поскольку она интегрируема), так что при некотором $latex M :$

$latex |f(t)| \leq M \forall t \in [a,b]$.

Следовательно

$latex |F(x_{0}+ \Delta x) — F(x_{0})| = | \int_{x_{0}}^{x_{0}+ \Delta x} f(t)dt | \leq | \int_{x_{0}}^{x_{0}+ \Delta x} |f(t)|dt | \leq M | \int_{x_{0}}^{x_{0}+ \Delta x} dt | =$

$latex = M |\Delta x| \rightarrow 0$ при $latex \Delta x \rightarrow 0$,

Откуда следует непрерывность функции $latex F$  $latex \blacksquare$