Метка: непрерывность на множестве

Пусть $f\colon E\to \mathbb{R}^{m}$, $E \subset \mathbb{R}^{n}$ и точка $x_0 \in E$.

Определение. Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое $\delta > 0$, что для всех $x \in E$, удовлетворяющих условию $\lvert x−x_0 \rvert < \delta$, справедливо неравенство $\lvert f(x)−f(x_0)\rvert < \varepsilon$.

Если $x_0$ – предельная точка множества $E$, то непрерывность функции $f$ в точке $x_0$ равносильна тому, что $\lim_\limits{{x \to x_0}, {x \in E}} f(x) = f(x_0)$.

Пусть точка $x_0$ не является предельной для $E$. Это означает, что найдется такая окрестность $U$ точки $x_0$, в которой нет других точек множества $E$. Такая точка называется изолированной точкой множества $E$. Ясно, что каждая точка множества $E$ является либо предельной, либо изолированной. Очевидно, в изолированной точке множества $E$ любая функция $f$ непрерывна, это следует сразу из определения непрерывности.

Равносильное данному выше определение непрерывности в терминах окрестностей может быть сформулировано следующим образом.

Определение. Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0$, если для любой окрестности $V$ точки $f(x_0)$ найдется такая окрестность $U$ точки $x_0$, что образ $f(U \cap E)$ множества $U \cap E$ содержится в $V$, т. е. $f(U \cap E) \subset V$ .

Используя определение предела по Гейне, можно также легко сформулировать определение непрерывности функции в точке в терминах последовательностей.

Теорема. Пусть функция $f\colon E\to \mathbb{R}^{m}$, $E \subset \mathbb{R}^{n}$ . Для того чтобы $f$ была непрерывной в точке $x_0$, необходимо и достаточно, чтобы были непрерывными в точке $x_0$ все ее компоненты.

Эта теорема мгновенно вытекает из следующего неравенства: $$\lvert f^i(x) — f^i(x_0)\rvert \leqslant \lvert f(x) — f(x_0)\rvert = \sqrt{\sum_{i=1}^m[f^i(x) — f^i(x_0)]^2}(i = 1,\ldots,m)$$

Теорема. Пусть функции $f,g \colon E\to \mathbb{R}^{m}$, $E \subset \mathbb{R}^{n}$. Если $f$ и $g$ непрерывны в точке $x_0 \in E$, то в этой точке непрерывны и функции $f + g$, $f ·g$. Если $f,g$ – действительные функции и $g(x) \neq 0$ на $E$, то $\frac{f}{g}$ непрерывна в точке $x_0$.

Действительно, если $x_0$ – изолированная точка, то в этой точке непрерывна каждая функция. Если же $x_0$ – предельная точка множества $E$, то для доказательства этой теоремы достаточно применить соответствующую теорему для пределов функции.

Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть $f\colon E\to \mathbb{R}^{m}$, $E \subset \mathbb{R}^{n}$ и $g\colon N\to \mathbb{R}^{k}$, $N \subset \mathbb{R}^{m}$, причем $f(E) \subset N$. Если $f$ непрерывна в точке $x_0 \in E$, а функция $g$ непрерывна в точке $y_0 = f(x_0) \in N$, то композиция $h \equiv g \circ f$ непрерывна в точке $x_0$.

Пусть $\varepsilon > 0$. В силу непрерывности функции $g$ в точке $y_0$, найдется такое $\eta > 0$, что для всех $y \in N$, удовлетворяющих условию $\lvert y−y_0 \rvert < \eta$, выполнено неравенство $\lvert g(y)−g(y_0) \rvert < \varepsilon$. Так как $f$ непрерывна в точке $x_0$, то для числа $\eta$ существует такое $\delta$, что для всех $x \in E$, удовлетворяющих условию $\lvert x−x_0 \rvert < \delta$, справедливо неравенство $\lvert f(x)−f(x_0) \rvert < \eta$. Окончательно, если $\lvert x−x_0 \rvert < \delta$, то, так как $y_0 = f(x_0)$, получаем $\lvert h(x)−h(x_0)\rvert = \lvert g(f(x))−g(f(x_0))\rvert < \varepsilon$.

Определение. Функция $f\colon E\to \mathbb{R}^{m}$ называется непрерывной на множестве $E$, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Пример 1. Рассмотрим $\pi^i(x) = x^i (x \in \mathbb{R}^{n}), \pi^i \colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} (i \in 1,\ldots,n)$. Имеем $$\lvert \pi^i(x)−\pi^i(x_0)\rvert = \lvert x^i −x^i_0\rvert \leqslant \lvert x−x_0\rvert,$$ так что функция $\pi^i$ непрерывна на всем $\mathbb{R}^{n}$.

Пример 2. Пусть $f(x) = (x^i)^ν$, где $ν \in \mathbb{N}$. Тогда функция $f\colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ непрерывна на всем пространстве $\mathbb{R}^{n}$.

Действительно, рассмотрим функцию $g(t) = t^ν (t \in \mathbb{R})$. Тогда $f = g \circ\pi^i$ и из теоремы о непрерывности сложной функции сразу получаем утверждение.

Пример 3. Функция $$f(x) = \sum_{{i_1}=0}^{m_1}\ldots\sum_{{i_n}=0}^{m_n} C_{i_1,\ldots,i_n}(x^1)^{i_1}\ldots(x^n)^{i_n}$$ непрерывна на всем пространстве $\mathbb{R}^{n}$. Это следует из двух предыдущих примеров.

Пример 4.Пусть $f(x) = \lvert x\rvert (x \in \mathbb{R}^{n})$. Тогда из неравенства $$\lvert f(x)−f(x_0)\rvert = \lvert \lvert x\rvert −\lvert x_0\rvert\rvert \leqslant \lvert x−x_0\rvert (x, x_0 \in \mathbb{R}^{n})$$ сразу следует непрерывность функции $f$.

Определение. Множество $A \subset \mathbb{R}^{n}$ называется открытым относительно множества $B \subset \mathbb{R}^{n}$, если существует такое открытое множество $G \subset \mathbb{R}^{n}$, что $A = G \cap B$.

Теорема. Если функция $f\colon E\to \mathbb{R}^{m}$ непрерывна на множестве $E,$ то прообраз любого открытого множества $H \subset \mathbb{R}^{n}$ открыт относительно $E$.

Примеры решения задач

1. Будет ли функция $f(x,y) = x^6 + y^3 + 2x^4y^3 — 1$ непрерывной на $\mathbb{R}^{2}$?
   
   Решение

   Да, будет по вышеуказанной теореме, как сумма непрерывных функций $f_1(x,y) = x^6 + y^3$ и $f_2(x,y) = 2x^4y^3 — 1$. Каждая из них в свою очередь, очевидно будет непрерывна, потому что для любого $(x_0,y_0) \in \mathbb{R}^{2}$ $$\lim_{{x \to x_0}, {y \to y_0}} f_1(x, y) = \lim_{{x \to x_0}, {y \to y_0}} x^6 + y^3 = x_0^6+y_0^3 = f_1(x_0)$$ $$\lim_{{x \to x_0}, {y \to y_0}} f_2(x, y) = \lim_{{x \to x_0}, {y \to y_0}} 2x^4y^3 — 1 = 2x_{0}^4y_0^3 = f_2(x_0)$$

2. Исследовать на непрерывность функцию $f(x,y)$ в точке $O(0, 0)$.
   $$\begin{equation*} f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{2xy}{x^2+y^2}, x^2+y^2 \neq 0\\ 0, x^2+y^2=0. \end{cases} \end{equation*}$$
   Решение

   $$\lim_{x\to 0} f(x,y) = \lim_{x\to 0}\dfrac{2\cdot 0 \cdot y}{0+y^2} = 0$$ $$\lim_{y\to 0} f(x,y) = \lim_{y\to 0}\dfrac{2y \cdot 0}{x^2+0} = 0$$ Тем не менее, функция разрывна в $O(0, 0)$, что показывается по Гейне. Выберем последовательности точек $(\dfrac1n, \dfrac1n)$ и $(\dfrac1n, -\dfrac1n)$, сходящиеся к $O(0,0)$. $$\lim f(\dfrac1n, \dfrac1n) = \lim_{(x,y)\to(\frac1n, \frac1n)}\dfrac{2xy}{x^2+y^2} = \lim_{(x,y)\to(\frac1n, \frac1n)}\dfrac{2\cdot\dfrac1n\cdot\dfrac1n}{\dfrac1{n^2}+\dfrac1{n^2}} = 1$$ $$\lim f(\dfrac1n, -\dfrac1n) = \lim_{(x,y)\to(\frac1n, -\frac1n)}\dfrac{2xy}{x^2+y^2} = \lim_{(x,y)\to(\frac1n, -\frac1n)}\dfrac{2\cdot\dfrac1n\cdot(-\dfrac1n)}{\dfrac1{n^2}+\dfrac1{n^2}} = -1$$
   Так как $\lim f(\dfrac1{n}, \dfrac1{n}) \neq\lim_\limits{(x,y)\to(\frac1{n}, -\frac1{n})}f(x,y)$, то функция не непрерывна в данной точке.

3. Показать, что функция $$f(x,y) = \dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, \textrm{ если } x^2+y^2\neq 0$$ и $$f(0,0) = 0$$ непрерывна в окрестности точки $(0, 0)$.
   
   Решение

   Вне $0$ функция, очевидно, будет непрерывна, как композиция непрерывных. Найдём предел функции в точке $(0,0)$ : $$\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) = \lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{\dfrac{xy}{xy}}{\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{xy}}=$$ $$=\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac1{\sqrt{\dfrac1{y^2}+\dfrac1{x^2}}} = 0.$$ Так как $f(0,0) = \lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)$, то функция непрерывна в $(0,0)$. Что и требовалось доказать.

Литература

1. Коляда В.И., Кореновский А. А. Курс лекций по математическому анализу.- Одесса : Астропринт , 2009. с. 252-255.
2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Дрофа, 2003. — 703 с. — с.288-291.
3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1962. — 607 с. — С. 362-364.
4. Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, 13-ое издание, Московского университета, 1997, с. 318