Пример:

Рассмотрим функцию $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$. Эта функция непрерывна на промежутке $[0,1)$, но не ограничена на этом промежутке. При $\forall\xi\in [0,1)$ функция $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ интегрируема на отрезке $[0,\xi]$, причем $J(\xi)=\int_{0}^{\xi}{\frac{dx}{\sqrt{1-x}}}=\left(-2\sqrt{1-x})\right|^{\xi}_{0}=2(1-\sqrt{1-\xi})$, откуда следует, что существует конечный $\lim_{\xi \to 1-0}F(\xi)=2$. В этом случае говорят, что несобственный интеграл от функции $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ на промежутке $[0,1)$ равен $2$, т.е. $\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{1-x}}}=2$. Число $2$ можно интерпретировать как площадь заштрихованной фигуры на Рис.1.