Будем рассматривать несобственный интеграл от неограниченной функции.

Теорема

Пусть $f(x)$ определена на полуинтервале $\left[ a ,b \right)$ . Для сходимости несобственного интеграла $\int _{a}^{b}{f(x)dx}$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши: для всякого $\varepsilon > 0$ найдется такое $\delta\in\left[ a ,b \right)$ , что для любых ${ \xi }_{ 1 },{ \xi }_{ 2 }\in\left( \delta ,b \right)$ выполняется неравенство $\left| \int _{{\xi}_{1}}^{{\xi}_{2}}{f(x)dx} \right| < \varepsilon$ .

Доказательство

Обозначим функцию $\Phi (\xi ) = \int _{a}^{\xi}{f(x)dx}$ . Тогда, сходимость интеграла $\int _{a}^{b}{f(x)dx}$ означает существование конечного предела $\underset {\xi \to b-0}{\lim}\int _{a}^{\xi}{f(x)dx} = \underset {\xi \to b-0}{\lim}\Phi(\xi)$ , а этот предел существует, согласно критерию Коши, когда функция $\Phi(\xi)$ удовлетворяет условию
$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta \in \left[ a;b \right): \forall \xi_1, \xi_2 \in \left(\delta, b \right ) \Rightarrow \left|\Phi(\xi_2)-\Phi(\xi_1) \right| < \varepsilon .$
И в силу свойств интеграла получаем $\left| \Phi (\xi _{ 2 })-\Phi (\xi _{ 1 }) \right| = \left|\overset { \xi _{ 2 } }{ \underset { a }{ \int } } f(x)dx- \overset { \xi_1 }{ \underset {a }{ \int} }f(x)dx \right| = \left|\overset { \xi _{ 2 } }{ \underset {\xi_1 }{ \int } } f(x)dx \right| < \varepsilon .$
А это то, что нам и требовалось доказать.

Список Литературы

Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме

Задание 1 из 3

1.
Необходимо отметить, какие из данных интегралов сходятся
- $\overset {2}{ \underset { 0 }{ \int } } \frac{dx}{x \sqrt x}$
- $\overset {0}{ \underset {-1}{ \int }} \frac{\text{arccos}xdx}{\sqrt{1-x^2}}$
- $\overset {1}{ \underset {0}{ \int }} \ln x dx$
- $\overset {1}{ \underset {-3}{ \int }} \frac{dx}{x+3}$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Каким из критериев Коши мы пользуемся при доказательстве теоремы (помимо данного)?
- Критерий Коши сходимости последовательности
- Критерий Коши существования предела функции
- Критерий Коши сходимости числового ряда
- Критерий Коши равномерной сходимости последовательности
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 3

3.
Сформулируйте в правильном порядке условие Коши
- $\forall \varepsilon > 0$
- $\exists \delta \in \left [ a;b \right )$
- $\forall \xi_1, \xi_2 \in \left ( \delta;b \right )$
- $\left| \int _{{\xi}_{1}}^{{\xi}_{2}}{f(x)dx} \right| < \varepsilon$
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

максимум из 30 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение

Пусть функция $f$ задана на полуинтервале $[a,b)$ , где $-\infty<a<b<+\infty$ , и интегрируема по Риману на любом отрезке $[a,\xi]$ , где $a<\xi<b$ . Тогда, если существует конечный предел $\lim_{\xi \to b-0}\int_{a}^{\xi}{f(x)dx}$ , то несобственный интеграл $II$ рода $\int_{a}^{b}{f(x)dx}$ называют сходящимся и полагают

$\int\limits_a^b{f(x)dx}=\lim_{\xi \to b-0}\int\limits_{a}^{\xi}{f(x)dx}$

В противном случае несобственный интеграл называют расходящимся.

Аналогично, если существует конечный $\lim_{\xi \to a+0}\int_{\xi}^{b}{f(x)dx}$ , то несобственный интеграл $II$ рода $\int_{a}^{b}{f(x)dx}$ называют сходящимся и полагают

$\int\limits_a^b{f(x)dx}=\lim_{\xi \to a+0}\int\limits_{\xi}^{b}{f(x)dx}$

В противном случае, если такого предела нет, расходящимся.

Замечание

Определение несобственного интеграла от непрерывных функций является содержательным лишь в случае, когда $f(x)$ неограниченна в окрестности точек $b,a$ . При этом, эти точки называются особыми.

Пример:

Курсовая
Рассмотрим функцию $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ . Эта функция непрерывна на промежутке $[0,1)$ , но не ограничена на этом промежутке. При $\forall\xi\in [0,1)$ функция $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ интегрируема на отрезке $[0,\xi]$ , причем $J(\xi)=\int_{0}^{\xi}{\frac{dx}{\sqrt{1-x}}}=\left(-2\sqrt{1-x})\right|^{\xi}_{0}=2(1-\sqrt{1-\xi})$ , откуда следует, что существует конечный $\lim_{\xi \to 1-0}F(\xi)=2$ . В этом случае говорят, что несобственный интеграл от функции $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ на промежутке $[0,1)$ равен $2$ , т.е. $\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{1-x}}}=2$ . Число $2$ можно интерпретировать как площадь заштрихованной фигуры на Рис.1.

Литература

Конспект лекций по мат.анализу Лысенко З.М.
Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа»: Учеб. пособие для вузов. 3-е издание, 2001 г. стр. 361-363.
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Учеб. пособие. 13-е изд., 1997 г. стр. 223-230.
В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. 2009г. стр.80-82.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 1, 1988-1989г. стр.644-652.

Тест по теме: Несобственные интегралы от неограниченных функций

Этот тест покажет насколько хорошо вы усвоили данную тему.

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 3
Определение неопределенного интеграла от непрерывных функций.
- Пусть функция f(x) (определена) на конечном промежутке [a,b) и (интегрируема) на отрезке [a,xi], где xi - любое из промежутка [a,b). Тогда, если существует (конечный) предел интеграла функции f(x) от a до xi, где xi->b-0, то символ интеграла функции f(x) от a до b называют несобственным интегралом от непрерывной функции.
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 1
При каком условии можно определить несобственный интеграл?
- Сходимости в окрестности точек
- Неограниченности в окрестности точек
- Интегрируемости в окрестности точек
- Ограниченности в окрестности точек
Правильно

Да, исходя из замечания.

Неправильно

Прочитайте внимательнее замечание.
Задание 3 из 5

3.
Количество баллов: 1
Отметить интегралы которые имеют предел A, равный : $\left\{\left.\begin{matrix}A<\infty \\ A=\pm\infty\end{matrix}\right|\begin{matrix}\alpha < 1 \\ \alpha\geq1\end{matrix}\right.$
- $\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{x^\alpha}}$
- $\int\limits_{c}^{b}{\frac{dx}{(x-c)^\alpha}}, -\infty < c < b < +\infty$
- $\int\limits_{1}^{+\infty}{\frac{dx}{x^\alpha}}$
- $\int\limits_{c}^{b}{\frac{dx}{(b-x)^\alpha}},-\infty < c < b < +\infty$
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 4
Отсортируйте по убыванию площадей под кривыми функций
- $\int\limits_{1}^{3}{\frac{dx}{\sqrt[3]{(x-3)^5}}}$
- $\int\limits_{0}^{1}{\ln x dx}$
- $\int\limits_{0}^{3}{\frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}}$
- $\int\limits_{-2}^{2}{\frac{dx}{x^3}}$
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 1
Если подынтегральная функция $f(x)$ неограниченна в окрестности точек $b,a$ , тогда такие точки называются:
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Тест по теме: Несобственные интегралы от неограниченных функций

максимум из 10 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: несобственный интеграл от неограниченных функций

Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

Теорема

Доказательство

Список Литературы

Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Таблица лучших: Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Определение

Замечание

Пример:

Литература

Тест по теме: Несобственные интегралы от неограниченных функций

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Таблица лучших: Тест по теме: Несобственные интегралы от неограниченных функций

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат