Метка: нули непрерывной функции

Разделим отрезок [a,b] пополам и пусть точка $latex \alpha$ — середина этого отрезка.
Если $latex f(\alpha)=0$ , то теорема доказана, если $latex f(\alpha) \neq 0$ , то
на концах хотя бы одного из отрезков она принимает значение разных знаков.
$latex \Delta_1=[a_1,b_1]$, его длина $latex b_1-a_1 =\frac{b-a}{2}$
Пусть точка $latex \alpha_1$ середина $latex \Delta_1$
Если $latex f(\alpha_1)=0$ , то теорема доказана, если $latex f(\alpha_1) \neq 0$ , то
на концах хотя бы одного из отрезков она принимает значение разных знаков.
$latex \Delta_2=[a_2,b_2]$ , его длина $latex b_2-a_2 =\frac{b_1-a_1}{2}$
Продолжая этот процесс получим:

• Либо через конечное число шагов $latex \exists c \ \epsilon \ [a,b] : f(c)=0;$
• Либо $latex \exists$ стягивающаяся последовательность из отрезков:
  $latex \Delta_1 \supset \Delta_2 \supset \Delta_3$ и так далее.

Для n-ого отрезке $latex \Delta_n=\frac{b-a}{2^{n}} \rightarrow 0$ при $latex n \rightarrow \infty$

И $latex \forall n : f(a_n)f(b_n)<0$

Так как последовательность стягивающаяся , то по теореме Кантора:

[latex]\exists c\ \forall n\ \in \ \mathbb{N} :[/latex] $latex c \ \in \ \Delta_n$

Докажем, что f(c)=0

Докажем от противного
$latex f(c)\neq 0 \Rightarrow f(c)>0$ либо $latex f(c)<0$ по свойству сохранения знака непрерывной функции
$latex \exists \delta \ \forall x \ \epsilon \ U_\delta(c) \Rightarrow f(x)>0$
$latex b_n-a_n \rightarrow 0$
$latex \forall \ \varepsilon>0 \ \exists N : \ \forall n \geq N \ |b_n-a_n|< \varepsilon$
Для $latex \delta>0 \ \exists n_0>N : b_{n_{0}}-a_{n_{0}}<\delta <2 \delta$
Отрезок с номером $latex n_0$ будет лежать в этой окрестности $latex \Rightarrow$
$latex \forall x \ \epsilon \ U_\delta(c) \Rightarrow \ \forall x \ \epsilon \ \Delta_{n_{0}} : f(x)>0$ ,
а это противоречит выбору $latex \Delta_{n_{0}}$ так как значение на левом и на правом конце отрезка, должны быть разных знаков
$latex \Rightarrow \ f(c)=0$

$latex \blacksquare$