Processing math: 100%

Метка: Определение неопределенного интеграла

6.1 Определение и простейшие свойства неопределенного интеграла

Пусть функция f дифференцируема в некоторой точке x. Тогда, согласно определению дифференцируемости и свойствам производной, справедливо равенство f(x+Δx)−f(x)=f′(x)Δx+¯o(Δx)(Δx→0).

Левая часть этого равенства называется приращением функции f в точке x, соответствующим приращению Δx независимой переменной в точке x, и обозначается Δf≡Δf(x)=f(x+Δx)−f(x). Таким образом, приращение Δf(x) дифференцируемой в точке x функции f состоит из двух слагаемых: f′(x)Δx и ¯o(Δx) При этом главную часть этого приращения составляет первое слагаемое (за исключением случая, когда f′(x)=0).
Итак, мы приходим к следующему определению.

Определение. Пусть функция f дифференцируема в точке x. Линейная функция dy=f′(x)dx переменной dx называется дифференциалом функции f в точке x и обозначается
df=f′(x)dx.
Если в определении дифференциала переменную x считать зависимой от другой переменной x=x(t), то для функции g(t)=f(x(t)) будем иметь

df(t)=df(x(t))=dg(t)=g′(t)dt=f′(x(t))x′(t)dt=f′(x)dx.

Получили, что форма дифференциала функции не зависит от того, является ли переменная x зависимой, или независимой. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала. Свойства дифференциала определяются свойствами производных и правилами дифференцирования. Например,
d(uv)=(u′(x)v(x)+u(x)v′(x))dx=u(x)dv(x)+v(x)du(x),

или, короче,
d(uv)=udv+vdu.

Аналогично имеем
d(uv)=vdu−udvv2.

В дальнейшем при изучении функций многих переменных мы остановимся на понятии дифференциала более подробно. Напомним, что функция f называется дифференцируемой на интервале, если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Определение. Пусть функция f определена на интервале I. Если существует функция F, дифференцируемая на интервале I и такая, что F′(x)=f(x) для всех x∈I, то функция F называется первообразной (или примитивной) для функции f на этом интервале. Например, f(x)=2xex2,F(x)=ex2(−∞<x<+∞).

Если для функции f существует одна первообразная, то существует бесконечно много первообразных. Действительно, каждая функция вида F(x)+C, где C — постоянная, также является первообразной, поскольку

(F(x)+C)′=F′(x)=f(x).


Ниже будет доказана следующая.

Теорема. Каждая непрерывная на интервале функция имеет первообразную на этом интервале.

Пример. Пусть f(x)=|x|,x∈(−∞,+∞). Тогда F(x)=x22 при x>0 и F(x)=−x22 при x<0. Легко проверить, что для функции F(x)=−x22signx(−∞<x<∞) справедливо также равенство F′(0)=0=|0|=f(0), так что F — первообразная для f.

Теорема. Если функция f имеет первообразную на интервале I, то разность двух любых ее первообразных тождественно постоянна на этом интервале.

Пусть F1,F2 — две первообразные для функции f. Тогда F′1(x)=f(x) и F′2(x)=f(x) для всех x∈I справедливо равенство (F1−F2)′(x)=0. Поэтому, в силу следствия из теоремы Лагранжа, разность F1−F2 – тождественно постоянная функция, что и требовалось доказать.

Следствие. Bсе первообразные можно описать равенством F(x)+C, где F(x) — одна из первообразных.

Определение. Совокупность всех первообразных функции f называется неопределенным интегралом от функции f и обозначается ∫f(x)dx. При этом сама функция f(x) называется подынтегральной функцией, а f(x)dx называется подынтегральным выражением. Как было сказано выше, если F(x) – одна из первообразных функции f(x), то справедливо следующее равенство:

∫f(x)dx=F(x)+C,


где C – постоянная.
Операция нахождения первообразных называется интегрированием. Отметим, что определение первообразной не является конструктивным, как, например, определение производной. Действительно, в определении производной дается правило ее вычисления, а в определении первообразной – только свойство, которым она должна обладать. Такое определение называется дескриптивным.

Простейшие свойства неопределенного интеграла

1. Если функция F дифференцируема на интервале I, то
∫F′(x)dx=F(x)+C.


Это сразу следует из определения первообразной.

2. Если ∫f(x)dx=F(x)+C и ∫g(x)dx=G(x)+C, то ∫[f(x)+g(x)]dx=F(x)+G(x)+C, или, что то же самое,
∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
Действительно, при наших предположениях имеет место равенство
(F(x)+G(x))0=F′(x)+G′(x)=f(x)+g(x).

3. Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то для любого действительного числа α≠0 ∫[αf(x)]dx=αF(x)+C, или, что то же самое, ∫[αf(x)]dx=α∫f(x)dx.


Это равенство очевидно следует из определения. Заметим, что при α=0 оно неверно по той причине, что в левой его части совокупность всех постоянных, а в правой – тождественный нуль.

4. Если ∫f(t)dt=F(t)+C, то для любого a≠0 и для любого b
∫f(ax+b)dx=1aF′(ax+b)+C.
Действительно,
[1aF(ax+b)]′=1aF′(ax+b)·a=f(ax+b).

Формулы для нахождение простейших неопределенных интегралов

1.∫adx=ax+C

2.∫xndx=xn+1n+1+C,a≠−1,x>0

3.∫dxx=ln|x|+C

4.∫axdx=axln|a|+c

5.∫exdx=ex+C

6.∫sinxdx=−cosx+C

7.∫cosxdx=sinx+C

Примеры решения задач

Данные примеры читателю рекомендуется решить самому в качестве тренировки.

  1. ∫(x2−4x)dx=
    Решение

    =∫x2dx−∫4xdx=x33−4x22+C=x33−2x2+C

  2. ∫(13√x2)dx=
    Решение

    =∫x−23dx=x1313=33√x+C

  3. ∫cos(2x+3)dx=
    Решение

    =12sin(2x+3)+C

  4. ∫(3sinx+10x)dx=
    Решение

    =∫3sinxdx+∫10xdx=−3cosx+10ln|x|+C

Неопределенный интеграл и его простейшие свойства

Данный тест поможет вам лучше разобраться с темой.

Литература

Смотрите также