Задача из журнала «Квант» (2002 год, 4 выпуск)
Условие
Пусть $Q$ — произвольная точка окружности с диаметром $AB, QH$ — перпендикуляр, опущенный на $AB.$ Точки $C$ и $М$ — это точки пересечения окружности с центром $Q$ и радиусом $QH$ с первой окружностью.
Докажите, что прямая $CM$ делит радиус $QH$ пополам (рис.1).
Проведем прямые $CH$ и $MH$ до пересечения с окружностью в точках $F$ и $R$ соответственно (рис.2). Тогда $\angle MCF = \frac{1}{2} \cup MF = \angle MRF$ и $\angle MCF = \angle MHA,$ так как $AH$ — касательная; значит, $\angle RHB = \angle HRF, $ или $AB \| FR.$ В $\Delta HRW$ угол $\angle HWR = \frac{1}{2} \cup QR = \angle QMH,$ но $\angle QMH = \angle QHM (MQ = QH),$ т.е. $\Delta HRW$ — равнобедренный и $RI$ — высота в $\Delta HRW (I = HW\cap RF).$ Получим, что $HI = IW, QH = HW.$ Пользуясь результатом задачи «Проблема бабочки», видим, что $IH = HL = IW = LQ,$ что и требовалось доказать. (О «бабочках» см., например, книгу: Г.С.Коксетер, С.Л.Грейтцер «Новые встречи с геометрией» (стр. 59-60)).