Задача из журнала «Квант» (2000 год, 2 выпуск)

Условие задачи

В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AD$ и $CE$, пересекающиеся в точке $O$(рис.1). Прямая $DE$ пересекает продолжение стороны $AC$ в точке $K$.

Докажите, что медиана $BM$ треугольника $ABC$ перпендикулярна прямой $OK$.

Решение

Докажем, что прямая $OM$ перпендикулярна на $KB$ (рис.1).
Отсюда непосредственно будет следовать утверждение задачи, поскольку в этом случае $O$ окажется ортоцентром треугольника $KBM$ (рис.2).

Пусть основание перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $BK$, служит точка $N$ (рис.3).

Поскольку точки $E$ и $N$ лежат на окружности с диаметром $OB$, то угол $BND$ равен углу $BED$. Аналогично, четырехугольник $AEDC$ вписан в окружность с диаметром $AC$.

Поэтому угол $BED$ равен углу $ACB$. Таким образом, сумма углов $KND$ и $ACB$ равна $180^\circ$, т.е. четырехугольник $KNDC$ вписанный.

Значит, угол $NCK$ равен углу $NDK$. Но угол $NDE$ равен углу $NBE$ в силу того, что точки$B$,$D$,$E$ и $N$, как мы уже отмечали, лежат на одной окружности с диаметром $OB$. Поэтому равны углы $NBA$ и $NCA$. Т.е. точка $N$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$.

Нам осталось совсем немного. Продолжим прямую $NO$ до пересечения с описанной окружностью треугольника $ABC$ в точке $P$ (рис.4).

Так как угол $BNP$ прямой, то $BP$ — диаметр этой окружности. Значит, углы $BAP$ и $BCP$ прямые. Поэтому отрезок $AP$ параллелен $CE$, а $PC$ параллелен $AD$. Но отсюда $APCO$- параллелограмм, и прямая $NO$ делит $AC$ пополам, что и требовалось доказать.

М. Волкевич