Метка: плоскости

Задача из журнала «Квант» (2000 год, 1 выпуск)

Условие

$N$ одинаковых деревянных кубиков склеены между собой так, что каждые два из них склеены по грани или по участку грани. Докажите, что максимальное значение $N$ равно шести.

Решение

Приведем расположение шести деревянных кубиков, в котором каждые два склеены, как сказано в условии задачи (рис.1): три «черных» кубика стоят на плоскости стола, а три «красных» кубика стоят над ними (вид сверху!). Теперь выстроим цепочку наглядных представлений и соображений, из которых будет следовать, что $\max N = 6$.

Определимся сначала с плоским случаем: если на столе лежат $n$ одинаковых картонных квадратов, каждые два из которых склеены по стороне или по участку стороны, то $\max n = 3$, что очевидно (рис.2).

Будем говорить, что $n$ деревянных кубиков (из имеющихся $N$) принадлежат одному слою, если найдется плоскость (стол), на которой все они стоят. Из вышесказанного следует, что $n \leqslant 3$.
Нетрудно убедиться, что если все $N$ кубиков параллельно расположены, т.е. каждый из них является результатом параллельного переноса другого, то $N \leqslant 4$.
Пусть среди $N$ кубиков нашлись два — кубики $Q_1$ и $Q_2$, которые не являются параллельно расположенными (транслятами), а плоскость $\pi$ — общая плоскость двух соприкасающихся граней этих кубиков. Плоскость $\pi$
определяет два слоя, одному из которых принадлежит кубик $Q_1$, а другому — кубик $Q_2$. Заметим, что всякий третий деревянный кубик обязан принадлежать одному из этих слоев. Но в каждом слое кубиков не больше трех, значит, $N \leqslant 6$.

В. Произволов