подмножество

Пусть множество $E\subset\mathbb{R^n}$ , $a$ — предельная точка множества $E$ и функция $f : E \mapsto \mathbb{R^m}$ .

Точка $b \in \mathbb{R^m}$ называется пределом функции $f$ в точке $a$ по множеству $E$ , если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое $\delta > 0$ , что для всех $x \in E$ , отличных от точки $a$ и удовлетворяющих условию $0 < |x-a| < \delta$ , справедливо неравенство $|f(x) − b| < \varepsilon$ . В этом случае пишут
$b =\lim_{x \to \ a, x \in E} f(x)$
и говорят, что $f(x)$ стремится к $b$ , пробегая множество $E$ , или $f(x)$ стремится к $b$ вдоль множества $E$ .

Если множество $E$ содержит некоторый шар с центром в точке $a$ , за исключением, быть может, самой точки $a$ , то просто пишут $b = \lim_{x \to \ a} f(x)$ .

В самой точке $a$ функция $f$ может быть и не определена. Но даже если она и определена в точке $a$ , то мы не требуем, чтобы было выполнено равенство $f(a) = b$ , поскольку в точке $a$ выполнение неравенства $|f(x) − b| < \varepsilon$ не требуется.

Пусть $f : E \mapsto \mathbb{R^m}$ и $\lim_{x \to a, x \in E} f(x) = b$ . Тогда для любого подмножества $A \subset E$ , для которого точка $a$ является предельной, очевидно, $\lim_{x \to a, x \in A} f(x) = b$ . Если же по двум различным подмножествам $A_1, A_2 \subset E$ , имеющим $a$ предельной точкой, пределы функции $f$ в точке $a$ будут различными, то по множеству $E$ в этой точке предела у функции $f$ нет. Это очевидно.

Пусть
$f(x,y) = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \quad ((x,y) \in E \equiv \mathbb{R^2}\backslash\{(0,0)\})$
$A_1 = \{(x,y) \in E : x = y\}, \quad A_2 = \{(x,y) \in E : x = 0\}.$
Тогда, очевидно,
$\lim_{(x,y) \to (0,0), (x,y) \in A_1} f(x,y) = 0, \quad \lim_{(x,y) \to (0,0), (x,y) \in A_2} f(x,y) = -1.$

Легко также убедиться в том, что у этой функции существуют пределы вдоль любой прямой, проходящей через начало координат, но эти пределы различные. Поэтому функция $f$ не имеет предела вдоль множества $E$ .

. Пусть функция $f : E \mapsto \mathbb{R^m}$ , $E \subset \mathbb{R^n}$ , и $a$ — предельная точка множества $E$ . Для того чтобы точка $b \in \mathbb{R^m}$ являлась пределом функции $f$ в точке $a$ по множеству $E$ , необходимо и достаточно, чтобы для любой сходящейся к $a$ последовательности $\{x_v\}$ точек из $E$ отличных от $a$ , было выполнено равенство $\lim_{v \to \infty} f(x_v) = b$ .

Пусть $\lim_{x \to a, x \in E} f(x) = b$ и пусть $x_v \in E$ , $x_v \neq a$ , $\lim_{v \to \infty} x_v = a$ , т. е. зафиксирована некоторая последовательность $\{x_v\}$ . Докажем, что $\lim_{v \to \infty} f(x_v) = b$ .
Зададим $\varepsilon > 0$ . Тогда, по определению предела функции, найдется такое $\delta > 0$ , что для всех $x \in E$ , удовлетворяющих условию $0 < |x−a| < \delta$ , справедливо неравенство $|f(x) − b| < \varepsilon$ . Так как $x_v \to a$ и $x_v \neq a$ , то найдется такой номер $N$ , что при любом $v \ge N$ будет $0 < |x_v − a| < \delta$ .
Поэтому для $v \ge N$ выполнено неравенство $|f(x_v) — b| < \varepsilon$ . Это означает, что $\lim_{v \to \infty} f(x_v) = b$ .
Предположим, что предел функции $f$ в точке $a$ либо не существует, либо существует, но не равен $b$ . Тогда найдется такое $\varepsilon_0 > 0$ , что для любого $\delta > 0$ найдется точка $x^\prime \in E$ , $x^\prime \neq a$ , для которой $|x^\prime — a| < \delta$ , но $|f(x^\prime) — b| \ge \varepsilon_0$ . Полагая $\delta = \frac{1}{v}$ , построим последовательность точек $x^\prime_v$ , для которых $0 < |x^\prime_v — a| < \frac{1}{v}$ , но $|f(x^\prime_v) — b| \ge \varepsilon_0$ . Тогда получим, что $x^\prime_v \to a$ , но $f(x^\prime_v)$ не стремится к $b$ , а это противоречит условию.

Доказанная теорема позволяет сформулировать равносильное определение предела функции по Гейне.

Точка $b$ называется пределом функции $f$ в точке $a$ , если для любой последовательности $\{x_v\}$ точек из $E$ , сходящейся к $a$ , $x_v \neq a$ , соответствующая последовательность $\{f(x_v)\}$ значений функции сходится к точке $b$ .

Пусть функции $f, g : E \mapsto \mathbb{R^m}$ , $E \subset \mathbb{R^n}$ , $a$ — предельная точка множества $E$ и
$\lim_{x \to a, x \in E}f(x) = b, \quad \lim_{x \to a, x \in E}g(x) = c.$

Тогда

$\lim_{x \to a, x \in E}(f + g)(x) = b + c;$
$\lim_{x \to a, x \in E}(f \cdot g)(x) = b\cdot c;$
если $f, g$ — действительные функции (т.е. $m = 1$ ) и $g(x) \neq 0, c(x) \neq 0$ , то $\lim_{x \to a, x \in E}(\frac{f}{g})(x) = \frac{b}{c}$ .

Для доказательства достаточно воспользоватся определением предела по Гейне и соответствующей теоремой для последовательностей.

Примеры решения задач

Найти предел неограниченной функции $f(x) = \frac{2x^2 + x — 1}{x — 1}$ .

Решение

Пусть $f(x) = \frac{2x^2 + x — 1}{x — 1}.$ Множество $X$ , на котором определена функция $f(x)$ , получается из множества всех действительных чисел $\mathbb{R}$ удалением из него единицы; $X =\mathbb{R}\backslash\{1\}$ . Выясним, существует или нет предел функции $f(x)$ в точке $x_0 = 0$ . Возьмем какую-либо последовательность $x_n \in X$ , $n = 1, 2,\ldots$ , такую, что $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$ . Тогда на основании теорем получаем

$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty}\frac{2x^2 _n + x_n — 1}{x_n — 1}=$

$= \frac{2(\lim_{n \to \infty}x_n)^2 + \lim_{n \to \infty} x_n — 1}{\lim_{n \to \infty}x_n — 1} = 1.$

Таким образом, существует $\lim_{n \to \infty}f(x_n) = 1$ , а так как он не зависит от выбора последовательности $x_n \to 0$ , $x_n \in X$ , $n = 1,2,\ldots$ , то существует и предел $\lim_{n \to \infty}f(x) = 1.$

[свернуть]

Найти предел ограниченной, разрывной функции $f(x) = \sin\frac{1}{x}$ .

Решение

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin \frac{1}{x}.$ Она определена на множестве $X =\mathbb{R}\backslash\{0\}$ . Снова выясним, существует или нет у функции $f$ предел в точке $x_0 = 0$ . Возьмем две последовательности $x_n = \frac{1}{\pi n}$ и $x_n^\prime = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2\pi n}, n = 1,2,\ldots.$
Очевидно, что $\lim_{n \to \infty}x_n = \lim_{n \to \infty}x_n^\prime = 0, x_n \neq 0, x_n^\prime \neq 0$ (условие $x \neq 0$ в данном случае означает, что $x \in X$ ), $f(x_n) = \sin \pi n = 0$ , $f(x_n^\prime) = \sin( \frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 1$ , $n = 1, 2,\ldots .$ . Поэтому $\lim_{n \to \infty}f(x_n) = 0$ и $\lim_{n \to \infty}f(x_n^\prime) = 1$ , а это означает, что предела функции при $x \to 0$ не существует.

[свернуть]

Найти предел $f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 -1}$ по Гейне.

Решение

Пусть $f(x) = \frac{x_n^2 + x + 1}{x^2 — 2}.$

Найдем предел этой функции при $x \to \infty$ . Ее областью определения является множество $X =\mathbb{R}\{\sqrt{2}, -\sqrt{2}\}$ . Взяв какую-либо последовательность $x_n \in X$ , $n = 1, 2,\ldots,$ $\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$ , будем иметь
$\lim_{n \to \infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n ^2+x_n+ 1}{x_n^2 — 2}=\lim_{n \to \infty}\frac{1 + \frac{1}{x_n} + \frac{1}{x_n^2}}{1-\frac{2}{x_n^2}}=$
$=\frac {1 + \lim_{n\to\infty}\frac{1}{x_n}+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{x_n^2}}{1 — 2\lim{n\to\infty}\frac{1}{x_n^2}}=1.$
Отсюда следует, что $\lim_{n \to \infty}\frac{x^2 + x + 1}{x^2 — 2} = 1$ .

[свернуть]

Пример 4. Найти предел всюду разрывной функции Дирихле.

Решение

Пусть $f$ - функция Дирихле, то есть функция, равная $1$ на множестве всех рациональных чисел и нулю на множестве $I$ всех иррациональних чисел. Тогда в точке $x_0 = 0$ ее предел по множеству рациональних чисел равен $1$ : $\lim_{x \to 0, x \in Q}f(x) = 1.$

а по множеству иррациональних чисел — нулю: $\lim_{x \to 0, x \in I}f(x) = 0.$
По всему же множеству действительных чисел(то есть по множеству определения функции Дирихле) предел ее в точке $x_0 = 0$ не существует, так как уже существование или нет предела последовательности $\{f(x_n)\}$ при $n \to \infty$ зависит в данном случае от выбора последовательности $\{x_n\}$ , стремящейся к нулю.

[свернуть]

Найти предел устранимо-разрывной функции $\lim_{x \to 0}\frac{(2x^2 + x — 1)x}{x^2-x}$ .

Решение

Найдем
$\lim_{x \to 0}\frac{(2x^2 + x — 1)x}{x^2-x}.$ Повторяя рассуждения, аналогичные тем, с помощью которых был вычислен предел в примере $1$ , приходим к выражению $\frac{0}{0}$ , т. е. к неопределенности, и тем самым не получаем ответа ни на вопрос о существовании предела, ни на вопрос о его значении, если он существует. Поэтому рассмотрим функцию
$f(x) = \frac{2x^2 + x — 1}{x — 1},$
получающуюся из функции
$g(x) = \frac{(2x^2 + x — 1)x}{x^2 — x},$
стоящей под знаком предела в условии, сокращением правой части равенства на $x$ . Функции $f$ и $g$ совпадают в проколотой окрестности $U^{\circ}(0,1) = (-1,1) \backslash \{0\}$ точки $x_0 = 0$ и поэтому, согласно сделанному выше замечанию, одновременно имеют или нет пределы в этой точке по указанной проколотой окрестности, причем в случае существования этих пределов они равны. В примере же $1$ было показано, что $\lim_{x \to 0}f(x) = 1$ по всей области определения функции $f$ , следовательно, и по ее подмножеству $U^{\circ}(0,1)$ . Таким образом,
$\lim_{x \to 0}g(x) = \lim_{x \to x_0, x \in U^{\circ}(0,1)}g(x) = \lim_{x \to x_0, x \in U^{\circ}(0,1)}f(x) = \lim_{x \to 0}f(x) = 1$
(первое равенство справедливо в силу того, что предел является локальным свойством функции). Эти рассуждения являются обоснованием вычислений, которые в обычно употребляемой записи имеют следующий вид:
$\lim_{x \to 0}\frac{(2x^2 + x — 1)x}{x^2 — 1} = \lim_{x \to 0}\frac{2x^2 + x — 1}{x — 1} = 1.$

[свернуть]

Найти предел функции $f(x) = |signx|$ .

Решение

Рассмотрим функцию $f(x) = |sign x|$ . Какова бы ни была окрестность нуля $U(0)$ , у этой функции в точке $x_0 = 0$ , очевидно, существует предел по проколотой окрестности $U^{\circ}(0)$ :
$\lim_{x \to 0, x \in U^{\circ}(0)}|sign x| = 1.$
Вместе с тем предел $\lim_{x \to 0, x \in U(0)}|sign x|$ по всей окрестности $U(o)$ в точке $x_0 = 0$ у функции $|sign x|$ не существует, так как, например, для последовательности
$x_n = \begin{cases} \frac{1}{n}, &\text{если n = 2k, k = 1,2,…}\\ 0, &\text{если n = 2k — 1, k = 1,2,…} \end{cases}$
имеем $\lim_{n \to \infty}x_n = 0$ (и, следовательно, все ее члены начиная с некоторого будут лежать в заданной окрестности $U(0)$ , а последовательность $|sign x_n|$ не имеет предела(на четных местах у нее стоят единицы, а на нечетных — нули).

[свернуть]

Литература:

Коляда В.И., Кореновский А. А. Курс лекций по математическому анализу.- Одесса : Астропринт , 2009. с. 251-253.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Дрофа, 2003. — 703 с. — с.70-72
Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу.

Тест. Пределы функций.

Этот тест проверить ваши знания по теме «Пределы функций».

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: подмножество

11.1 Предел функции

Примеры решения задач

Литература:

Тест. Пределы функций.

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

4.

5.

6.

7.

Средний результат
Ваш результат