Задача з журналу «Квант» (1992 рік, №9)

Умова

Із вершини $C$ прямокутного трикутника $ABC$ проведена висота $CD$ і в трикутники $ACD$ і $BCD$ вписані кола з центрами $P$ і $Q$. Спільна зовнішня дотична до цих кіл перетинає катети $AC$ і $BC$ відповідно в точках $M$ і $N$, а висоту $CD$ у точці $K$. Доведіть, що

1. трикутники $CMN$ і $ABC$ подібні;
2. точки $C$, $M$, $N$, $P$ і $Q$ лежать на одному колі з центром $K$, радіус якого дорівнює радіусу вписаного кола трикутника $ABC$.

Розв’язок

Розглянемо чотирикутник $KPDQ$ (див. рисунок). Так як $KP$ і $KQ$ – бісектриси суміжних кутів, то $\angle PKQ = 90^\circ$. Так само $\angle PDQ = 90^\circ$. Це означає, що вершини чотирикутника $KPDQ$ лежать на колі з діаметром $PQ$, і $\angle KPQ = \angle KDQ = 45^\circ.$ Звідси випливає, що трикутник $KPQ$ – рівнобедрений. Трикутники $ACD$ і $BCD$ подібні з коефіцієнтом $\frac{AC}{BC},$ тому

$$\frac{DP}{DQ} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{AC}{BC}.$$

Отже, прямокутний трикутник $DPQ$ подібний до трикутника $ABC$ і $\angle QPD = \angle A$. Позначимо цей кут $\alpha$. Тепер легко показати, що всі кути, які позначені на рисунку 1 однією дугою, дорівнюють $\alpha$: із подібності трикутників $ABC$ і $BCD$ випливає, що $\angle BCD = \angle A = \alpha$; за властивістю вписаних кутів $\angle QKD = \alpha$; це означає, що $KQ\:\|\: BC$ (аналогічно, $KP\: \| \:AC$). Тепер зрозуміло, що $\angle CNM = \angle QKD = \alpha$. Отриманий результат дозволяє підбити такі підсумки:

1. трикутники $CMN$ і $ABC$ подібні;
2. $CK = KM = KN.$

Окрім того, $CK = KQ$, тому що $KQ \:\|\: AC$ і $CQ$ – бісектриса кута $BCD$. Тож точки $C , M, N, P$ і $Q$ лежать на колі з центром $K.$

Обчислимо радіус цього кола. Із трикутника $DPQ$ за теоремою Піфагора маємо:

$$PQ = \sqrt{2(r_1^2 + r_2^2)}.$$ Але $\:r_1^2 + r_2^2 = r^2\:$ (сума квадратів будь-яких відповідних один одному відрізків трикутників $ACD$ і $CBD$ дорівнює квадрату відповідного їм відрізка трикутника $ABC$ – адже вони подібні йому, причому сума квадратів коефіцієнтів подібності дорівнює $1$). Звідси отримаємо $$PQ = r\sqrt{2}\; і \;KP = KQ = r.$$