Метка: понятие поля

Понятие поля:

Коммутативное кольцо P , в котором есть единичный элемент и каждый ненулевой элемент имеет обратный, называется полем.

Так как любое поле является кольцом, следовательно операции сложения и умножения являются бинарными алгебраическими операциями, им присущи данные свойства:

1. Всюду определенность;
2. Однозначность;
3. Замкнутость;

Также эти операции из-за того что это поле будут иметь следующие свойства:

1. Для любых $a$, $b$, $c$ относительно операции $+$ выполняются следующие свойства:
   • сложение коммутативно, $a+b=b+a$,
   • сложение ассоциативно, $a+(b+c)=(a+b)+c$,
   • существует единственный нулевой элемент 0 такой, что $a+0=a$ для любого элемента $a$,
   • для каждого элемента $a$ существует единственный противоположный элемент — $a$ такой, что $a+(-a)=0$.
2. Для любых $a$, $b$, $c$ относительно операции $*$ выполняются следующие свойства:
   • умножение коммутативно, $ab=ba$,
   • умножение ассоциативно, $a(bc)=(ab)c$,
   • существует единственный единичный элемент 1 такой, что $a\times 1=1\times a=a$ для любого элемента $a$,
   • для каждого ненулевого элемента $a$ существует единственный обратный элемент $a^{-1}$ такой, что $aa^{-1}=a^{-1}a=1$.
3. Операции сложения и умножения связаны между собой следующим соотношением: умножение дистрибутивно относительно сложения, $(a+b)c=ac+bc$.

Примеры полей:

1. Рациональные числа;
2. Вещественные числа;
3. Комплексные числа;
4. Поле вычетов по модулю $p$, $p$ простое число;

Список использованной литературы:

1. Воеводин, В.В. Линейная алгебра : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1974, ст. 28-29.
2. Конспект лекций Белозерова Г.С.