Задача из журнала «Квант» (1971 год, 8 выпуск)

Условие

На плоскости даны три прямые, пересекающиеся в одной точке. На одной из них отмечена точка. Известно, что прямые являются биссектрисами некоторого треугольника, а отмеченная точка — одна из его вершин. Построить этот треугольник.

Первое решение

Предположим, что $O$ — точка пересечения биссектрис $AK,$ $BL$ и $CM$ треугольника $ABC$ (рис. 1); тогда

$$\angle MOB\;=\;\angle OCB\;+\;\angle OBC\;=\;\frac12(\angle ACB\;+\;\angle ABC)\;=\;\frac{\mathrm\pi}2\;-\;\angle CAK,$$ то есть $\angle CAK=\frac{\mathrm\pi}2-\alpha.$ Поэтому, если заданы прямые $AK,$ $BL$ и $CM$ и точка $A,$ то, построив по одну и другую сторону от луча $AO$ углы, равные $\varphi=\frac{\mathrm\pi}2-\alpha,$ мы найдем искомые вершины $B$ и $C$ (при условии, что $\varphi>0,$ $\varphi<\beta$ и $\varphi<\gamma$). Нужно еще доказать, что у построенного треугольника $ABC$ прямые $BL$ и $CM$ идут по биссектрисам. Углы $ABL$ и $ACM$ легко подсчитать — они равны соответственно $\frac{\mathrm\pi}2-\beta$ и $\frac{\mathrm\pi}2-\gamma.$ Трудность заключается лишь в доказательстве того, что $\angle LBC=\frac{\mathrm\pi}2-\beta$ и $\angle MCA=\frac{\mathrm\pi}2-\gamma$ (хотя ясно, что их сумма равна $\alpha$); ее можно преодолеть, например, так: если $\angle LBC<\angle ABL,$ то биссектриса угла $ABC$ пересекает отрезок $AO,$ поэтому биссектриса угла $ACB$ тоже его пересекает, и значит, $\angle MCB<\angle ACM,$ поэтому сумма $\angle LBC+\angle MBC$ меньше $(\frac{\mathrm\pi}2-\beta)+(\frac{\mathrm\pi}2-\gamma)=\alpha.$ Точно так же можно показать, что невозможен случай $\angle LBC>\angle ABL.$

Второе решение

Построим точки $A^\prime$ и $A^{\prime\prime}$, симметричные данной точки $A$ относительно биссектрис, не проходящих через $A.$ Ясно,что обе точки $A^\prime$ и $A^{\prime\prime}$ должны лежать на прямой $BC$ — на стороне искомого треугольника $ABC$ (или на ее продолжении). Проведя прямую через $A^\prime$ и $A^{\prime\prime},$ мы тем самым найдем нужные точки $B$ и $C$ (рис. 2).

Заметим, что хотя второе решение белее эффектно, но при таком подходе труднее выписать условия, при которых задача имеет решение. Эти условия таковы: $\alpha<\frac{\mathrm\pi}2,\;\beta<\frac{\mathrm\pi}2,\;\gamma<\frac{\mathrm\pi}2$ (поскольку $\alpha+\beta+\gamma=\mathrm\pi,$ их можно записать и так: $\alpha+\beta>\frac{\mathrm\pi}2,\;\beta+\gamma>\frac{\mathrm\pi}2,\;\gamma+\alpha>\frac{\mathrm\pi}2).$ Если они выполнены, то решение единственно. Подумайте, как можно получить эти условия при каждом из изложенных выше способов решения