Задача з журналу «Квант» (2007 №5, 2008 №1)

Умова

У схемі на малюнку 1 «горизональна» батарейка має напругу $1\,\textsf{B}$, три з чотирьох контенсаторів мають однакові ємності, а останній — вдвічі більшу. Якою може бути напруга другої, «вертикальної» батарейки, щоб хоча б один конденсатор у цій схемі залишився незарядженим? До підключення батарейок всі конденсатори не були заряджені.

Розв’язок

Завдання нескладне, важливо тільки не прогаяти будь-яких можливих варіантів. Можна розглядати єдину схему (малюнок $2$), але доведеться враховувати два можливі значення відомої напруги $U_0 = 1\,\textsf{B}$ та $U_0 = -1\,\textsf{B}$.

При цьому ми врахуємо «перестановку» конденсаторів $3$ та $4$; те ж для $1$ та $4$ та $2$ та $4$ вийде автоматично, з урахуванням полярності батареї напругою $U_1$. Отже, при незарядженому конденсаторі ємністю $2С$ потенціал точки дорівнює нулю (приймемо далі за нуль потенціал «нижньої точки»), $\varphi_A = -U_0$, сумарний заряд нижніх обкладок конденсаторів $3$ та $4$, а також верхніх обкладок конденсаторів $1$ та $2$ дорівнює нулю:

$$CU_1-(-U_0) + CU_1 + C(+U_0) + 0 = 0.$$

Звідси знаходимо $U_1 = U_0 = 1$. При $U_0 = 1\,\textsf{B}$ отримаємо $U_1 = -1\,\textsf{B}$ (зворотна полярність).

Запишемо умову нульового заряду конденсатора $3$:

$$\varphi_A = 0 , \varphi_Б = U_0 , CU_1 + C(U_1-U_0) + 2C(-U_0) = 0,$$ $$U_1 = \frac{3}{2}U_0, U_1 = \pm1,5\,\textsf{B}.$$

Тепер запишемо умову нульового заряду конденсатора $1$:

$$\varphi_A = U_1, \varphi_Б = U_1 + U_0,$$ $$CU_1-(U_1 + U_0) + C(-U_1) + 2C(-U_1-U_0) = 0,$$ $$-U_0-U_1-2U_1-2U_0 = 0,$$ $$U_1 = -U_0 = -1\,\textsf{B}\,\textrm{(полярність зворотна).}$$

І, нарешті, запишемо умову нульового заряду конденсатора $2$:

$$\varphi_Б = U_1, \varphi_A = U_1-U_0,$$ $$C(U_1-U_1 + U_0) + C(-U_1 + U_0) + 2C(-U_1) = 0,$$ $$U_0-U_1 + U_0-2U_1 = 0, 2U_0 = 3U_1, U_1 = \frac{2}{3}U_0 = \frac{2}{3}\,\textsf{B}.$$

Отже, ось можлива напруга «вертикальної» батарейки: $\frac{2}{3}\,\textsf{B}; 1\,\textsf{B}; 1,5\,\textsf{B}.$