Processing math: 100%

Метка: правосторонний предел

Различные типы пределов: односторонние конечные пределы

Определения

Односторонний предел по Коши

Число A‘ называют левосторонним пределом функции f(x) в точке a:

A‘=limx→a−0f(x),

если

∀ε>0∃δε>0∀x:a−δε<x<a:|f(x)−A‘|<ε

Аналогично, число A» называют правосторонним пределом функции f(x) в точке a:

A»=limx→a+0f(x),

если

∀ε>0∃δε>0∀x:a<x<a+δε:|f(x)−A»|<ε

Односторонний предел по Гейне

Число A‘ называют левосторонним пределом функции f(x) в точке a:

A‘=limx→a−0f(x),

если

[latex]\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}

Аналогично, число A» называют правосторонним пределом функции f(x) в точке a:

A»=limx→a+0f(x),

если

∀{xn}∞n=1:(∀k∈N:xk>a)∨limn→∞xn=a⇒limn→∞{f(xn)}∞n=1=A»

Пределы слева и справа называют односторонними пределами.
Соответственно, функция f(x) называется непрерывной слева (справа) в точке a, если

∃limx→a−0f(x)=f(a)(limx→a+0f(x)=f(a)).

Теорема

Функция f(x) имеет предел в точке a тогда и только тогда, когда существуют равные между собой односторонние пределы в этой точке. В этом случае их общее значение является пределом функции в точке a.

Спойлер

Пример

Дана функция f(x)=sgn(x):{1,x>0;0,x=0;−1,x<0.
signx
Выяснить существует ли предел в точке 0.

Спойлер

Литература

  1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 77-79
  2. Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа, 2003, т.1. стр. 185-189

Тест


Таблица лучших: Односторонние конечные пределы

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных