Интегрирование функций вида $latex R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},…,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}})&s=2$

Интегралы типа $latex \int R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},…,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}}),$
где a, b, c, d — действительные числа, $latex r_{k}\in \mathbb{Q}(k=\overline{1,n})$ , сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки

$latex \frac {ax+b}{cx+d}=t^{p},$

где p — наименьшее общее кратное знаменателей чисел $latex r_{1},r_{2},…r_{n}.$
Действительно, из подстановки $latex \frac{ax+b}{cx+d}=t^{p}$ следует, что $latex x=\frac{b-dt^{p}}{ct^{p}-a}$ и $latex dx=-\frac {dpt^{p-1}(ct^{p}-a)-(b-dt^{p})cpt^{p-1}}{(ct^{p}-a)^{2}}dt$ , т.е. x и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби $latex \frac{ax+b}{cx+d}$ выражается через рациональную функцию от t.

Примеры

1)Найти $latex I=\int\frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1)^{2}-\sqrt{x+1}}dx$ . Сделав подстановку

$latex t=\sqrt{x+1};dx=2tdt$

будем иметь

$latex I=2\int\frac{t+2}{t^{3}-1}dt=\int(\frac{2}{t-1}-\frac{2t+2}{t^{2}+t+1})dt=2\int\frac{dt}{t-1}-\int\frac{2t+1}{t^{2}+t+1}dt-\int\frac{dt}{(t+1\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}=$

$latex =ln\frac{(t-1)^{2}}{t^{2}+t+1}-\frac{2}{\sqrt{3}}arctg\frac{2t+1}{\sqrt{3}}+C.$

2) Найти интеграл $latex I=\int\frac{dx}{\sqrt[3]{(x+2)^{2}}-\sqrt{x+2}}.$ Наименьшее общее кратное знаменателей дробей $latex \frac{2}{3}$ и $latex \frac{1}{2}$ есть 6. Сделав замену

$latex t=\sqrt[6]{x+2};dx=6t^{5}dt$

будем иметь

$latex I=\int\frac{6t^{5}dt}{t^{4}-t^{3}}=6\int\frac{t^{2}dt}{t-1}=6\int\frac{(t^{2}-1)+1}{t-1}dt=6\int(t+1+\frac{1}{t-1})dt=3t^{2}+6t+$

$latex +6ln\left|t-1\right|+C=3\sqrt[3]{x+2}+6\sqrt[6]{x+2}+6ln\left|\sqrt[6]{x+2}-1\right|+C.$

Литература

Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012

www.znannya.org_Интегрирование иррациональных функций

Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу, часть 1(3), О.:2009, стр.60

Дифференциальным биномом называют выражение вида

[latex] x^{m} (a+bx^{n})^{p} dx, [/latex]

где a и b — любые константы, а показатели степеней m, n и p — рациональные числа. Изучим вопрос об интегрируемости в элементарных функциях дифференциальных биномов.
Рассмотрим три случая , когда интеграл от дифференциального бинома допускает рационализирующую подстановку.
1. Первый случай соответствует целому p. Дифференциальный бином представляет собой дробно-линейную иррациональность вида [latex] R (x,\sqrt[r]{x}) dx [/latex], где r — наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел m и n. Стало быть, интеграл от дифференциального бинома в этом случае рационализируется подстановкой [latex] t=\sqrt[r]{x} [/latex].
2.Второму случаю соответствует целое число [latex] \frac{m+1}{n} [/latex]. Сделаем подстановку
[latex] z = x^{n} [/latex] и положим для краткости [latex] \frac{m+1}{n}-1=q [/latex], получим

[latex] \int x^{m} (a+bx^{n})^{p} dx=\frac{1}{n}\int (a+bz)^{p} z^{q}dz [/latex]

Подынтегральная функция в правой части является дробно-линейной иррациональностью следующего вида вида [latex] R (z,\sqrt[s]{a+bz}) [/latex], где s — знаменатель рационального числа p.
Таким образом, для второго случая дифференциальный бином рационализируется подстановкой

[latex] t=\sqrt[s]{a+bz}=\sqrt[s]{a+bx^{n}}. [/latex]

3. Третьему случаю соответствует целому число [latex] (\frac{m+1}{n}+p) [/latex]. Подынтегральная функция в правой части является дробно-линиейной иррациональностью вида [latex] R (z,\sqrt[s]{\frac{a+bz}{z}}) [/latex], так что интеграл от дифференциального бинома рационализируется подстановкой вида

[latex] t=\sqrt[s]{\frac{a+bz}{z}}=\sqrt[s]{\frac{a}{x^{n}}+b}. [/latex]

В середине 19-го века П.Л.Чебышев доказал, что указанными выше тремя случаями исчерпываются все случаи, когда дифференциальный бином интегрируется в элементарных функциях. (Мемуар 1853 года «Об интегрировании иррациональных дифференциалов»).

Примеры

1)Вычислить интеграл [latex] I=\int \frac{ \sqrt{x}dx}{ (1+\sqrt[3]{x})^{2}} = \int x^{\frac {1} {2}} (1+x^{\frac{1}{3}})^{-2} [/latex]. Здесь [latex] m=\frac{1}{2}, n=\frac{1}{3}, p=-2 [/latex]. Так как p — целое, значит используем подстановку из первого случая

[latex] x=t^{6}, dx=6t^{5}dt, \sqrt {x} = t^{3}, \sqrt [3] {x} = t^{2} [/latex]

подставим:

[latex] I = 6 \int\frac{t^{8}}{ (t^{2} + 1)^{2} }dt = [/latex][latex]6 \int (t^{4} — 2t^{2} + 3 — \frac{4} {t^{2}+1} + \frac{1} { (t^{2} + 1)^{2} }) dt = [/latex][latex]\frac {6}{5}x^{\frac{5}{6}} — 4x^{\frac {1}{2}} + 18x^{\frac {1}{6}} + \frac{3x^{\frac{1}{6}}} { (1 + x^{\frac{1}{3}})} — 21arctg (x^{\frac{1}{6}}) + C [/latex]

2) Вычислить интеграл [latex] I = \int \frac{x}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^{2}}}} dx[/latex]. Здесь [latex] m = 1, n = \frac{2}{3}, p = -\frac{1}{2}[/latex]. Так как [latex]\frac{m+1}{n} = 3[/latex] — целое (второй случай).

[latex]t^{2} = 1 +x^{\frac{2}{8}},[/latex] [latex]x = (t^{2} — 1)^{\frac{8}{2}},[/latex] [latex]dx = 3t (t^{2}-1)^{\frac{1}{2}} dt[/latex]

подставим:

[latex] I = 3\int (t^{2}-1)^{2} dt = [/latex][latex]\frac{3}{5}t^{6} — 2t^{3} + 3t + C[/latex],

[latex]t=\sqrt{1+\sqrt[3]{x^{2}}}[/latex]

3) Вычислить интеграл [latex] I=\int x^{5} (1-x^{2})^{-\frac{1}{2}} dx [/latex]. Графиком подынтегральной функции будет:

В данном случае [latex] m=5,n=2,p=-\frac{1}{2} [/latex], так что [latex] \frac{m+1}{n}=3 [/latex] (второй случай). Сделав подстановку

[latex] t=\sqrt{1-x^{2}},[/latex] [latex]x=\sqrt{1-t^{2}},[/latex] [latex]dx=-\frac{tdt}{\sqrt{1-t^{2}}}, [/latex]

будем иметь

[latex] -\int (1-t^{2})^{2} dt=[/latex][latex]-\int dt+2\int t^{2}dt-\int t^{4}dt=[/latex][latex]-t+\frac{2}{3}t^{3}-\frac{t^{5}}{5}+C=[/latex][latex]-\sqrt{1-x^{2}}+\frac{2}{3}\sqrt{ (1-x^{2})^{3}} -\frac{\sqrt{ (1-x^{2})^{5} }}{5}+C. [/latex]

4) Вычислить интеграл [latex] I=\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{a+bx^{2}}}=\int x^{-2} (a+bx^{2})^{-\frac{1}{2}} dx [/latex]. Здесь [latex] m=-2,n=2,p=-\frac{1}{2} [/latex], так что [latex] \frac{m+1}{n}+p=-1 [/latex] (третий случай) Сделав подстановку

[latex] t=\sqrt{\frac{a}{x^{2}}+b},[/latex] [latex]x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{t^{2}-b}},[/latex] [latex]dx=-\frac{\sqrt{a}tdt}{\sqrt{ (t^{2}-b)^{3} }}, [/latex]

будем иметь

[latex] I=\int — (\frac{dt}{a}) = [/latex][latex]-\frac{t}{a}+C=[/latex][latex]-\frac{\sqrt{\frac{a}{x^{2}}+b}}{a}+C. [/latex]

Литература

В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Основы математического анализа, М.:Наука, 1982. стр. 227, 228.

Интегрирование дифференциального бинома

Интегрирование дифферециального бинома

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 5
Выражение вида $x^{m}(a+bx^{n})^{p}dx$ называется
Правильно

Неправильно

Задание 2 из 3

2.

Количество баллов: 5

Выбрать соответствующие рационализирующие подстановки

Элементы сортировки

$t=\sqrt[r]{x}$
$z = x^{n}$
$t=\sqrt[s]{\frac{a+bz}{z}}=\sqrt[s]{\frac{a}{x^{n}}+b}$

целое p

целое

$\frac{m+1}{n}$

целое

$(\frac{m+1}{n}+p)$

Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 5
Какую из следующих рационализирующих подстановок следует выбрать для интеграла $latex \int\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{2}(1+\sqrt[3]{x^{2}})}}=\int x^{-\frac{2}{3}}(1+x^{\frac{2}{3}})^{-1}dx$
- $x=t^{\frac{3}{2}},dx=\frac{3}{2}t^{\frac{1}{2}}dt$
- $x=t^{\frac{1}{2}},dx=\frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}}dt$
- $x=t^{\frac{2}{3}},dx=\frac{3}{2}t^{\frac{1}{2}}dt$
- $x=\sqrt[3]{1-t^{2}},dx=-\frac{tdt}{3\sqrt[3]{(1-t^{2})^{2}}}$
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Интегрирование дифференциального бинома

максимум из 15 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: прикладная математика

Интегрирование дробно-линейных иррациональностей

Интегрирование функций вида $latex R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},…,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}})&s=2$

Интегрирование дифференциального бинома

Интегрирование дифференциального бинома

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

Таблица лучших: Интегрирование дифференциального бинома

Средний результат
Ваш результат

Интегрирование функций вида latex R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},…,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}})&s=2latex R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},…,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}})&s=2

Интегрирование дифференциального бинома

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

Таблица лучших: Интегрирование дифференциального бинома

Интегрирование функций вида $latex R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},…,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}})&s=2$