Метка: прямоуголник

Задача из журнала «Квант» (1980 год, 8 выпуск)

Условие

В тетраэдре $ABCD$ $(AC) \bot (BC)$ и $(AD) \bot (BD)$. Докажите, что косинус угла между прямыми $AC$ и $BD$ меньше, чем $|CD| / |AB|$.

Решение

Проведем $(BE) \parallel (CA)$ и $(AE) \parallel (CB)$ (см. рисунок). Косинус угла между прямыми $AC$ и $BD$ — это $|\cos \widehat {DBE}|$.

С другой стороны, четырехугольник $ACBE$ — это прямоугольник, поэтому $|AB| = |CE|$ и $|CD| / |AB| = |CD| / |CE|$.

Заметим, что вершины прямых углов $ACB$, $ADB$, $AEB$ лежит на сфере с диаметром $AB$. Отрезок $CE$ тоже является диаметром этой сферы, поэтому угол $CDE$ — прямой и $|CD| / |CE| = \cos \widehat {DCE}$. Нужное неравенство принимает теперь вид $|\cos \widehat {DBE}| \lt \cos \widehat {DCE}$.

Пусть $R$ — это радиус сферы и $r$ — радиус окружности, получающийся в сечении сферы плоскостью $BDE$. Так как эта плоскость не проходит через центр сферы, $r \lt R$ и из равенств $2r \cdot \sin \widehat {DBE} = |DE| = 2R \cdot \sin \widehat {DCE}$ получаем $\sin \widehat {DBE} \gt \sin \widehat {DCE}$. Значит, $|\cos \widehat {DBE}| \lt |\cos \widehat {DCE}| = \cos \widehat {DCE}$.

Ю. Нестеренко