Пусть заданы две точки $B_1\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right)$ и $B_2\left(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2\right).$ Попробуем интерпретировать понятие расстояния между двумя точками и изобразить это в трехмерной системе координат, чтобы понять геометрический смысл. Для этого построим параллелепипед, в котором вектор $\overline{B_1B_2}$ будет его главной диагональю.

Принцип проектирования точек на координатные оси показан на данном рисунке на примере точки $B_2.$ Для точки $B_1$ ситуация аналогична. Итак, найдя проекции точек $B_1$ и $B_2,$ мы тем самым нашли проекции вектора $\overline{B_1B_2}.$

Обозначим две вершины параллелепипеда точками $A$ и $C.$ Теперь видно, что вектор $\overline{B_1B_2}$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $B_1CB_2,$ для нахождения которой необходимо вычислить длину катетов $B_1C$ и $B_2C.$ Рассмотрим треугольник $B_1AC$ гипотенуза которого является катетом $B_1C$ треугольника $B_1CB_2.$ По теореме Пифагора $B_1C = \sqrt{{AB_1}^2 + {AC}^2}.$ Значит, получаем итоговую формулу: $$B_1B_2 = \sqrt{{B_1C}^2 + {B_2C}^2}.$$ Теперь, подставляя координаты точек $B_1$ и $B_2,$ имеем: $$\rho\left(B_1, C\right) = \sqrt{\left(\alpha_2 — \alpha_1\right)^2 + \left(\beta_2 — \beta_1\right)^2},$$ $$\rho\left(B_1, B_2\right) = \sqrt{\left(\alpha_2 — \alpha_1\right)^2 + \left(\beta_2 — \beta_1\right)^2 + \left(\gamma_2 — \gamma_1\right)^2},$$ где за $\rho$ обозначено расстояние между точками. Подобным образом можно вычислить и длину вектора $\overline{B_1B_2}:$ $$\left|\overline{B_1B_2}\right| = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2},$$ где $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ координаты вектора. Для плоскости все рассуждения остаются аналогичными, а формулы выглядят следующим образом: $$\rho\left(B_1, B_2\right) = \sqrt{\left(\alpha_2 — \alpha_1\right)^2 + \left(\beta_2 — \beta_1\right)^2},$$ $$\left|\overline{B_1B_2}\right| = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}.$$