Задача из журнала «Квант» (2002 год, 4 выпуск)

Условие

Пусть $Q$ — произвольная точка окружности с диаметром $AB, QH$ — перпендикуляр, опущенный на $AB.$ Точки $C$ и $М$ — это точки пересечения окружности с центром $Q$ и радиусом $QH$ с первой окружностью.

Докажите, что прямая $CM$ делит радиус $QH$ пополам (рис.1).

В.Дубов

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 2 выпуск)

Условие

Концы $2n$ пересекающихся хорд разделили окружность на $4n$ равных дуг. Докажите, что среди этих хорд найдутся две параллельные хорды.

Решение

Будем считать, что окружность имеет длину $4n$, а, значит каждая из $4n$ дуг, на которые она разделена концами $2n$ непересекающихся хорд, имеет длину $1.$ Важно заметить следующее. Так как хорды не пересекаются, то концы каждой хорды разделяют окружность на дуги нечетной длины.
Обозначим $4n$ точек деления числами $0, 1, 2, \ldots,4n — 1$ последовательно (см. рисунок). Условимся писать  $a$ $\equiv$ $b,$ если числа $a$ и $b$ дают одинаковые остатки при делении на $4n,$ и говорить, что $a$ и $b$ равны по модулю $4n.$ Теперь отметим, что если $i,$ $j$ и $k,$ $l$ — две пары из чисел на окружности, для которых выполняется равенство $i$ $+$ $j$ $\equiv$ $k$ $+$ $l,$ то хорды $ij$ и $k$$l$ параллельны.

Каждая из $2n$ хорд определена парой своих концов: $(i_1, i_2),$  $(i_3, i_4),$$\ldots,$ $(i_{4n-1}, i_4n).$ При этом сумма чисел в каждой паре нечетна.

Допустим, что среди $2n$ хорд нет параллельных. Тогда набор чисел $i_1$ $+$ $i_2,$ $i_3$ $+$ $i_4,$$\ldots$ $,i_{4n-1}$ $+$ $i_4n$ по модулю $4n$ содержит все нечетные числа от $1$ до $4n — 1.$

Значит, сумма этого набора равна $4n^2$ (по модулю $4n).$ Непосредственно суммируя числа набора, мы получим $i_1$ $+$ $i_2$ $+$ $i_3$ $+$ $i_4$ $+ \ldots +$ $i_{4n-1}$ $+$ $i_4n$ $=$ $0$ $+$ $1$ $+$ $2$ $+ \ldots +$$4n- 1$ $=$ $2n$ $(4n-1).$

Но тогда должно выполняться равенство $4n^2$ $\equiv$ $2n$ $(4n-1).$) Легко видеть, что такое равенство не выполняется, т.е. остается заключить, что среди хорд есть параллельные.

B.Произволов