Пусть задана матрица $$\begin{equation*}
A = \left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right)
\end{equation*}, $$ где $n$ столбцов и $m$ строк. Заметим, что числа не имеют никакой связи между собой. Будем рассматривать столбцы как вектора $m-$мерного пространства. То есть в таком виде: $$ \alpha_1 = \left(a_{11}, a_{21},\dots,a_{m1}\right),$$ $$\alpha_2 = \left(a_{12}, a_{22},\dots,a_{m2}\right),$$ $$\vdots$$ $$\alpha_m = \left(a_{1n}, a_{2n},\dots,a_{mn}\right).$$ Они могут быть линейно зависимыми. Тогда имеет место такое определение:
Определение. Пусть задана матрица $A = \|a_{ij}\| \in M_{m \times n}(P).$
Рангом матрицы называется ранг системы её столбцов, то есть количество векторов (столбцов) в максимально линейно независимой системе столбцов матрицы $A.$ Обозначение: $\mathop{\rm rank} A.$
Примечание. Ранг нулевой матрицы равен нулю.
$$\left(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{matrix} \right).$$ Как видим, столбцы равны между собой, а значит линейно независимые столбцы отсутствуют, их количество равно нулю и, по определению, ранг равен нулю.
Ранг системы столбцов также можно называть «столбцовым» рангом. Очевидно, для строк существует аналогичное название — «строчный» ранг. Однако в этом случае строки будут рассматриваться как вектора $n-$мерного пространства, а именно: $$ \beta_1 = \left(a_{11}, a_{12},\dots,a_{1n}\right),$$ $$\beta_2 = \left(a_{21}, a_{22},\dots,a_{2n}\right),$$ $$\vdots$$ $$\beta_n = \left(a_{m1}, a_{m2},\dots,a_{mn}\right).$$ Ранги равны между собой, что следует из теоремы о ранге матрицы. Необходимо упомянуть, что $\mathop{\rm rank} A \leqslant min\left\{n,m\right\}$, где $n$ — количество столбцов матрицы $A$, а $m$ — количество строк. Этот факт также следует из теоремы.
Пример. Найти ранг матрицы $$A = \left(\begin{array}{rrr} -1 & 3 & 2 & 5 & 12 & -6 \\ 5 & 4 & -1 & -25 & 16 & 3 \\ 2 & 0 & 3 & -10 & 0 & 9 \end{array} \right).$$Запишем столбцы как вектора и проверим есть ли зависимость: $$ \alpha_1 = \left(-1,5,2\right),~ \alpha_2 = \left(3, 4, 0\right),~ \alpha_3 = \left(2,-1,3\right), $$ $$\alpha_4 = \left(5,-25,-10\right),~ \alpha_5 = \left(12,16,0\right),~ \alpha_6 = \left(-6,3,9\right).$$ В нашем случае она очевидна: $$\alpha_4 =-5 \cdot \alpha_1,~ \alpha_5 = 4 \cdot \alpha_2,~ \alpha_6 =-3 \cdot \alpha_3.$$ Значит, линейно независимых столбцов в матрице три и, по определению, $\mathop{\rm rank} A = 3. $
Пример. Найти ранг матрицы $$A = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -4 & 0 \\ -3 & 6 & 7 & 8 \\ -2 & -4 & 8 & 0\end{array} \right).$$ Ранг столбцов равен $4.$ Но это превышает ранг матрицы, который должен быть не больше трех. Узнаем, с помощью элементарных преобразований, есть ли среди строк линейно зависимые: $$\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -4 & 0 \\ -3 & 6 & 7 & 8 \\ -2 & -4 & 8 & 0\end{array} \right) \thicksim \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -4 & 0 \\ 0 & 11 & -5 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right) \thicksim \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -4 & 0 \\ 0 & 11 & -5 & 8 \end{array} \right).$$Линейно независимых строк две. Позже будет доказано, что «строчный» ранг равен рангу матрицы. А так как нам известен ранг строк, можно сказать, что $\mathop{\rm rank} A = 2.$
Смотрите также
- Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, стр. 71
- Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры — 2009 стр. 346
- Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С.