Теорема (критерий возрастания и убывания функции на интервале)

Для того чтобы дифференцируемая функция $f(x)$ на интервале $(a;b)$ была возрастающая, необходимо и достаточно, чтобы $\forall x\in (a;b)$ $f'(x)\geq 0$.

Доказательство

Необходимость

• Дано: $f(x)$ возрастает на интервале $(a;b)$.
• Требуется доказать: $f'(x)\geq 0$.

Пусть $x_{0}$ произвольная точка на интервале $(a;b)$, пусть $x>x_{0}$, тогда в силу монотонного возрастания функции $f(x)\geq f(x_{0})$ для любого значения $x$ из интервала $(a;b)$, $x\neq x_{0}$ $\Rightarrow$

 $\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}>0. &s=1$

По свойству сохранения знака предела:

$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\geqslant 0, &s=1$

а это и есть$f'(x_{0})$.

Достаточность

• Дано: $f'(x)\geq 0$ .
• Требуется доказать: $f(x)$ возрастает на интервале$(a;b)$.

Пусть$f'(x)\geq 0$ $\forall x\in (a;b)$.
Выберем произвольные точки $x_{1}$ и $x_{2}$, принадлежащие интервалу $(a;b)$, и не ограничивая общности скажем, что $x_{2}>x_{1}$.
Применим к функции $f$ формулу Лагранжа о конечных приращениях:
$f(x_{2})-f(x_{1})=f'(\xi)*(x_{2}-x_{1})\geq 0.$ Из того что $x_{2}>x_{1} => f(x_{2})\geq f(x_{1}) =>$
Доказали нестрогое возрастание.

Теорема (достаточное условие строгой монотонности)

1. $\forall x\in (a;b)$ $f'(x)>0 \Rightarrow f$ строго возрастает на $(a;b)$.
2. $\forall x\in (a;b)$ $f'(x)<0 \Rightarrow f$ строго убывает на $(a;b)$.

Доказательство

Пусть $x_{2}>x_{1}$, применим формулу конечных приращений Лагранжа: $f(x_{2})-f(x_{1})=f'(\xi)*(x_{2}-x_{1})>0$, так как $x_{2}>x_{1}$ и $f'(\xi)>0$, то $f(x_{2})<f(x_{1})$.
Пусть $x_{2}<x_{1}$, применим формулу конечных приращений Лагранжа: $f(x_{1})-f(x_{2})=f'(\xi)*(x_{1}-x_{2})>0$, так как $x_{2}<x_{1}$ и $f'(\xi)>0$, то $f(x_{2})<f(x_{1})$.

Пример

Исследовать функцию $f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5$ на возрастание и убывание.

Решение

1. Функция $f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5$ дифференцируема на $R$, $f'(x)=3x^{2}-6x-9$.
2. Для определения промежутков возрастания и убывания функции решаем уравнение: $x^{2}-2x-3=0$. Решениями уравнения являются точки: $x=-1$ и $x=3$, которые разбивают числовую прямую на три отрезка. Получаем:

   

   $x^{2}-2x-3>0 \Leftrightarrow x\in ( -\infty ;-1) \cup (3;+\infty)\Rightarrow f(x)$ возрастает на отрезках $x\in ( -\infty ;-1] \cup [3;+\infty)$
   $x^{2}-2x-3<0\Leftrightarrow x\in \left ( -1;3 \right )\Rightarrow f(x)$ убывает на отрезке $x\in [-1 ;3]$.

3. Выполним проверку
   Для проверки построим график этой функции.

   

   Ответ:

   $f(x)$ возрастает на отрезках $x\in ( -\infty ;-1] \cup [3;+\infty)$.
   $f(x)$ убывает на отрезке $x\in \left [ -1 ;3\right ]$.

Источники:

• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Условия монотонности функции в терминах производной»).
• Фихтенгольц Г.М. — Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1, Глава четвертая, пар. 1, ст. 270-273

Тест по теме: условия монотонности функции в терминах производной

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Проверьте себя на знание теоретического и практического материала по теме: Условия монотонности функции в терминах производной.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 8 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Для доказательства достаточности критерия возрастания и убывания функции мы используем:

   • формулу Тейлора
   • формулу Маклорена
   • формулу Лагранжа
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Найдите промежутки убывания данной функции: $y=\frac{1}{4}x^{4}-\frac{5}{3}x^{3}-13$

   • $$(-\infty ;0)$$
   • $$(0 ;5)$$
   • $$(5 ;+\infty)$$
   • $$(-\infty ;+\infty)$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Для того чтобы дифференцируемая функция $f(x)$ на интервале $(a;b)$ была <возрастающей, необходимо и достаточно, чтобы $f'(x)$ была _________ для любого значения $x$из интервала $(a;b)$.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Допишите формулировку теоремы о достаточном условии строгой монотонности:»Если для любых значений $x$ из $(a,b)$ $f'(x)>0$,то на $(a,b)$ $f$ …»
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Каждой функции поставьте в соответствие ее промежутки возрастания.

   Элементы сортировки

   • $$[\frac{3}{2};+\infty )$$
   • $$(-\infty ;\frac{1}{2}]$$
   • $$(-\infty ;+\infty)$$
   • $$[-2;3]$$

   • $$y=x^{2}-3x+2$$

   • $$y=-x^{2}+x+6$$

   • $$y=x$$

   • $$y=-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+6x-14$$

   Правильно 4 / 4Баллы

   Неправильно / 4 Баллы



Таблица лучших: Тест по теме: условия монотонности функции в терминах производной

максимум из 8 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных