Условие

Число 26 можно тремя способами разложить в сумму четырех натуральных чисел так, что все 12 чисел различны:

$26=1+6+8+11=2+5+9+10=3+4+7+12.$

Для каждого натурального $n$ обозначим через $K=K(n)$ наибольшее число четверок натуральных чисел, дающих в сумме $n$ и состоящих из $4K$ различных чисел. Докажите, что

$K(n)=\left [\frac{n-2}{8} \right ]$

$[x]$- целая чатсь числа $x$.

Решение

Пусть выбрано $k$ четверок различных натуральных чисел, в сумме дающих $n$. Обозначим через $s$ сумму всех $4k$ чисел, входящих в эти четверки. Тогда, одной стороны, $s=nk$, а с другой стороны,

$s\geqslant 1+2+\cdots +4k=2k(4k+1).$

Поэтому $nk\geqslant 2k(4k+1)$, откуда $k\leqslant \frac{n-2}{8}$.

Осталось привести набор $\left [\frac{n-2}{8} \right ]$ четверок чисел, удовлетворяющий условиям задачи.

Обозначим число $\left [\frac{n-2}{8} \right ]$ через $a$ и пусть $n=8a+2+t$, где $t=0,1,2,\cdots,7$.

Рассмотрим следующую таблицу чисел:

$\begin{matrix}&1 &2 &3 &\cdots &a-1 &a \\ &2a &2a-1 &2a-2 &\cdots &a+2 &a+1 \\ &2a+1 &2a+2 &2a+3 &\cdots &3a-1 &3a \\ &4a+t &4a+t-1 &4a+t-2 &\cdots &3a+t+2 &3a+t+1 \end{matrix}$

Числа, стоящие в первом столбце, образуют первую четверку чисел, стоящие во втором — вторую четверку чисел, и так далее.