Теорема (критерий интегрируемости по Риману).
Пусть функция ограничена на отрезке
. Для того чтобы
была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство
. Это равенство означает, что для любого положительного
найдется такое положительное
, что для каждого разбиения
, диаметр которого
, справедливо неравенство
.
Доказательство. Необходимость. Пусть функция интегрируема, т. е. существует конечный
. Это означает, что для любого
найдется такое
, что для любого разбиения
с
и при любом выборе промежуточных точек
выполнено неравенство
. Это неравенство можно переписать так:
. Зафиксируем произвольное разбиение
с
. Поскольку
– верхняя грань множества всех интегральных сумм
, соответствующих разбиению
, и
, то
. Аналогично получаем
. Таким образом,
. Отсюда следует, что
, если только
.
Достаточность. Заметим, что для любого разбиения справедливо неравенство
. Поскольку, по условию,
при
, то
. Обозначим их общее значение через
. Тогда получим, что для любого разбиения
имеет место неравенство
. Но и каждая интегральная сумма
, отвечающая разбиению
, также удовлетворяет неравенству
. Отсюда следует, что
. Поскольку правая часть последнего неравенства стремится к нулю при
, то получаем
.
Замечание. Из доказательства необходимости видно, что для интегрируемой функции ее верхняя и нижняя суммы Дарбу стремятся к интегралу от функции при стремлении к нулю диаметра разбиения.
Литература
- В. И. Коляда, А. А. Кореновский Курс лекций по математическому анализу. Часть 1, Одесса, Астропринт, 2009 [стр. 184-185]
Тест
Этот тест служит проверкой на понимание хода доказательства данной теоремы.
Таблица лучших: Критерий интегрируемости
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |