суммы Дарбу — ПриМат

Теорема (критерий интегрируемости по Риману).

Пусть функция $f$ ограничена на отрезке $\left[ {a,b} \right]$ . Для того чтобы $f$ была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство $\mathop {\lim }\limits_{d\left( \Pi \right) \to 0} \left( {{{\overline S }_\Pi } - {{\underline S }_\Pi }} \right) = 0$ . Это равенство означает, что для любого положительного $\varepsilon$ найдется такое положительное $\delta$ , что для каждого разбиения $\Pi$ , диаметр которого $d\left( \Pi \right) < \delta$ , справедливо неравенство ${\overline S _\Pi } - {\underline S _\Pi } < \varepsilon$ .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция $f$ интегрируема, т. е. существует конечный $I \equiv \mathop {\lim }\limits_{d\left( \Pi \right) \to 0} \sigma$ . Это означает, что для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое $\delta > 0$ , что для любого разбиения $\Pi$ с $d\left( \Pi \right) < \delta$ и при любом выборе промежуточных точек ${\xi _i}$ выполнено неравенство $\left| {\sigma - I} \right| < \varepsilon$ . Это неравенство можно переписать так: $I - \varepsilon < \delta < I + \varepsilon$ . Зафиксируем произвольное разбиение $\Pi$ с $d\left( \Pi \right) < \delta$ . Поскольку ${\overline S _\Pi }$ – верхняя грань множества всех интегральных сумм $\sigma$ , соответствующих разбиению $\Pi$ , и $\sigma < I + \varepsilon$ , то ${\overline S _\Pi } \le I + \varepsilon$ . Аналогично получаем ${\underline S _\Pi } \ge I - \varepsilon$ . Таким образом, $I - \varepsilon \le {\underline S _\Pi } \le {\overline S _\Pi } \le I + \varepsilon$ . Отсюда следует, что ${\overline S _\Pi } - {\underline S _\Pi } \le 2\varepsilon$ , если только $d\left( \Pi \right) < \delta$ .

Достаточность. Заметим, что для любого разбиения $\Pi$ справедливо неравенство ${\underline S _\Pi } \le \underline I \le \overline I \le {\overline S _\Pi }$ . Поскольку, по условию, ${\overline S _\Pi } - {\underline S _\Pi } \to 0$ при $d\left( \Pi \right) \to 0$ , то $\overline I = \underline I$ . Обозначим их общее значение через $I$ . Тогда получим, что для любого разбиения $\Pi$ имеет место неравенство ${\underline S _\Pi } \le I \le {\overline S _\Pi }$ . Но и каждая интегральная сумма $\sigma$ , отвечающая разбиению $\Pi$ , также удовлетворяет неравенству ${\underline S _\Pi } \le \sigma \le {\overline S _\Pi }$ . Отсюда следует, что $\left| {\sigma - I} \right| \le {\overline S _\Pi } - {\underline S _\Pi }$ . Поскольку правая часть последнего неравенства стремится к нулю при $d\left( \Pi \right) \to 0$ , то получаем $\mathop {\lim }\limits_{d\left( \Pi \right) \to 0} \sigma = I$ . $\blacksquare$
Замечание. Из доказательства необходимости видно, что для интегрируемой функции ее верхняя и нижняя суммы Дарбу стремятся к интегралу от функции при стремлении к нулю диаметра разбиения.