теорема ингрируемости в терминах колебаний

Определение. Для ограниченной на отрезке $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$ функции $\varphi$ число[latex]\omega = \sup \left| {\varphi \left( {x’} \right) — \varphi \left( {x»} \right)} \right|,[/latex] где $x',x'' \in \left[ {\alpha ,\beta } \right]$ , называется колебанием функции $\varphi$ на $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$ . Обозначим

$M = {\sup _{\alpha \leqslant x \leqslant \beta }}\varphi \left( x \right)$

$m = {\inf _{\alpha \leqslant x \leqslant \beta }}\varphi \left( x \right).$ Тогда, как легко видеть, $\omega = M - m$ . Пусть теперь ограниченная функция $f$ задана на отрезке $\left[ {a,b} \right]$ . Тогда для произвольного разбиения $\Pi$ колебание $f$ на $\left[ {{x_i},{x_{i + 1}}} \right]$ равно ${\omega _i} = {M_i} - {m_i}$ . Поэтому

[latex]{\overline S _\Pi } — {\underline S _\Pi } = \sum\limits_{i = 0}^{n — 1} {\left( {{M_i} — {m_i}} \right)\Delta {x_i} = \sum\limits_{i = 0}^{n — 1} {{\omega _i}\Delta {x_i}} } [/latex].

Таким образом, равносильная формулировка критерия интегрируемости примет следующий вид.
Теорема (критерий интегрируемости в терминах колебаний). Для того чтобы ограниченная функция $f$ была интегрируемой по Риману на отрезке $\left[ {a,b} \right]$ , необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство

[latex]\mathop {\lim }\limits_{d(\Pi ) \to 0} \sum\limits_{i = 0}^{n — 1} {{\omega _i}\Delta {x_i} = 0} [/latex],

где ${\omega _i}$ – колебание функции $f$ на отрезке $\left[ {{x_i},{x_{i + 1}}} \right]$ .

Литература

В. И. Коляда, А. А. Кореновский Курс лекций по математическому анализу. Часть 1, Одесса, Астропринт, 2009 [стр. 85]

Метка: теорема ингрируемости в терминах колебаний

Критерии интегрируемости по Риману в терминах колебаний