Задача из журнала «Квант» (2002 год, 4 выпуск)
Условие
Пусть Q — произвольная точка окружности с диаметром AB,QH — перпендикуляр, опущенный на AB. Точки C и М — это точки пересечения окружности с центром Q и радиусом QH с первой окружностью.
Докажите, что прямая CM делит радиус QH пополам (рис.1).
Проведем прямые CH и MH до пересечения с окружностью в точках F и R соответственно (рис.2). Тогда ∠MCF=12∪MF=∠MRF и ∠MCF=∠MHA, так как AH — касательная; значит, ∠RHB=∠HRF, или AB‖FR. В ΔHRW угол ∠HWR=12∪QR=∠QMH, но ∠QMH=∠QHM(MQ=QH), т.е. ΔHRW — равнобедренный и RI — высота в ΔHRW(I=HW∩RF). Получим, что HI=IW,QH=HW. Пользуясь результатом задачи «Проблема бабочки», видим, что IH=HL=IW=LQ, что и требовалось доказать. (О «бабочках» см., например, книгу: Г.С.Коксетер, С.Л.Грейтцер «Новые встречи с геометрией» (стр. 59-60)).
