Задача из журнала «Квант» (1998 год, 5 выпуск)

Условие

Через основание $L$ и $M$ биссектрисы $BL$ и медианы $BM$ неравнобедренного треугольника $ABC$ провели прямые параллельно, соответственно, сторонам $BC$ и $BA$ до пересечения с прямыми $BM$ и $BL$ в точка $D$ и $E$. Докажите, что угол $BED$ прямой.

Первое решение

Случай внешнего расположения точки $O$ рассматривается аналогично. А можно и не рассматривать этот случай, а просто сослаться на такое почти очевидное предложение.

С помощью векторов нетрудно получить и естественное решение исходной задачи.

Второе решение

Задача из журнала «Квант» (2000 год, 6 выпуск)

Условие задачи

Продолжения противоположных сторон произвольного выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точках $M$ и $K$  $(рис.1)$. Через точку $O$ пересечения его диагоналей проводится прямая, параллельная $MK$. Докажите, что отрезок этой прямой, заключенный внутри четырехугольника, делится точкой  $O$ пополам.

Решение

Проведем  через точку $D$ прямую $l$ (сделайте чертеж самостоятельно), параллельную $KM$; пусть  $E$ и $F$ — точки пересечения $l$ с прямыми $BC$ и $BA$ соответственно.  Пусть для определенности прямая, проходящая через $O$ параллельно $KM$ и $l$ пересекает стороны $AB$ и $CD$ четырехугольника. В этом случае для решения задачи надо доказать, что точка $O$ лежит на медиане $KL$ треугольника $DKF$. Мы докажем, что $O$ — точка пересечения медиан $KL$ и $MN$ треугольников $DKF$ и $DME$ соответственно. Обозначим точку пересечения медиан $KL$ и $MN$ через $X$.

Докажем вначале, что $X$ лежит на $BD$, т. е. что прямые $DX$ и $BD$ совпадают. Для этого докажем, что они делят отрезок $KM$ в одном и том же соотношении.

Пусть  $Y$ — точка пересечения $DX$ и $KM$. Имеем $\frac {\displaystyle KY}{ \displaystyle LD} = \frac{\displaystyle XY}{\displaystyle DX}$ (поскольку треугольники $XYK$ и $XDL$ подобны), $\frac{ \displaystyle MY}{\displaystyle DN}\ = \frac{\displaystyle XY}{\displaystyle DX}\[/latex]. Поэтому [latex]\frac{\displaystyle KY}{\displaystyle MY}\ = \frac{\displaystyle LD}{\displaystyle DN}\[/latex]. Аналогично доказывается, что [latex]BD$ делит $KM$ в отношении $\frac{\displaystyle FD}{\displaystyle DE}\[/latex]. Но [latex]FD = 2LD$, $DE = 2DN$.

Осталось доказать, что $X$ лежит на отрезке $AC$. Другими словами, что $KL$ и $MN$ делят отрезок $AC$ в одном и том же отношении.

Доказанные утверждения позволяют завершить решение задачи. Именно, по лемме 2 медиана $KL$ делит отрезок $AC$ (считая от $C$)  в отношении $m = \left(\frac{\displaystyle CK}{\displaystyle KD}\right) \cdot \left (\frac{\displaystyle KF}{\displaystyle AK} \right )$, а медиана $MN$ — в отношении $n = \left(\frac{\displaystyle MC}{\displaystyle ME}\right) \cdot \left (\frac{\displaystyle MD}{\displaystyle MA} \right )$. Но $\frac{\displaystyle MC}{\displaystyle ME}\ = \frac{\displaystyle KC}{\displaystyle KD}\[/latex],  [latex]\frac{\displaystyle KF}{\displaystyle AK}\ = \frac{\displaystyle MD}{\displaystyle MA}\[/latex]. Следовательно, [latex]m = n$.
Утверждение задачи доказано.

Замечание. Вот ещё одно, более естественное, хотя и несколько более сложное, доказательство леммы 2.

Проведем через $V$ параллельные $AS$ и $AU$ прямые $(рис. 2)$.

Имеем: $\frac{\displaystyle x}{\displaystyle y} = \frac{\displaystyle AC}{\displaystyle AB}$ (это характеристическое свойство точек медианы!). Теорема Фалеса дает: $\frac{\displaystyle VS}{\displaystyle y} = \frac{\displaystyle US}{\displaystyle AU}$, $\frac{\displaystyle x}{\displaystyle UV} = \frac{\displaystyle AS}{\displaystyle US}$. Перемножая эти два равенства, получаем
$\frac{\displaystyle VS}{\displaystyle UV} = \left(\frac{\displaystyle AS}{\displaystyle AU}\right) \cdot \left (\frac{\displaystyle y}{\displaystyle x} \right ) = \left (\frac{\displaystyle AS}{\displaystyle AU} \right ) \cdot \left (\frac{\displaystyle AB}{\displaystyle AC} \right )$.
Лемма доказана.

М. Волкевич, В. Сендеров